Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Đa thức và nghiệm

2. Đa thức và nghiệm Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số. 2.1. Ví dụ mở đầu Xét xem số 3 3 3 3 là hữu tỷ hay vô tỷ. Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau:. | 2. Đa thức và nghiệm Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số. 2.1. Ví dụ mở đầu Xét xem số a 3 3 3 3 là hữu tỷ hay vô tỷ. Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau 1 Nếu a vô tỷ thì 4ã vô tỷ 2 Nếu a vô tỷ thì Vã vô tỷ 3 v3 vô tỷ Nhưng ta cũng có thể có một cách tiếp cận khác như sau 1 Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận a làm nghiệm 2 Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm hữu tỷ Việc tìm đa thức với hệ số nguyên nhận a làm nghiệm được tiến hành như sau a 3 3 43 VÍ a3 3 43 43 a3 - 3 2 3 43 a3 - 3 2 - 3 2 3 a12 - 12a9 48x6 - 72x3 33 0 . Vấn đề còn lại là chứng minh không có nghiệm hữu tỷ. Việc này sẽ được thực hiện ở cuối bài. 2.2. Nghiệm của đa thức định lý Bezout. Định nghĩa. Số thực a trong một số trường hợp ta xét cả các số phức được gọi là nghiệm của đa thức P x anxn an-ixn-1 . aix a0 nếu P a 0 tức là anan an-ian 1 . aia ao 0. Ta có định lý đơn giản nhưng rất có nhiều ứng dụng sau đây về nghiệm của đa thức Định lý 5. a là nghiệm của đa thức P x khi và chỉ khi P x chia hết cho x - a. Định lý này là hệ quả của định lý sau Định lý 6. Số dư trong phép chia đa thức P x cho x - a là P a . Cả định lý 5 và định lý 6 đều được gọi là định lý Bezout. Để chứng minh định lý 6 ta chỉ cần chứng minh P x - P a chia hết cho x - a. Nhưng điều này là hiển nhiên vì n n n-i n-i P x - P a an x -a an-i x -a . ai x-a và xk - ak x-a xk4 xk-2a . ak4 Từ định lý 5 ta có thê có một định nghĩa khác cho nghiệm của đa thức như sau a là nghiệm của đa thức P x nếu P x x-a Q x với Q x là một đa thức nào đó. Với định nghĩa này ta có thê phát triên thành định nghĩa về nghiệm bội. Định nghĩa. a được gọi là nghiệm bội r của đa thức P x nếu P x x-a rQ x với Q a 0. 2.3. Định lý Vieta Định lý 7. Xét đa thức P x e R x . Nếu x1 x2 . xk là .