Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Lời giải đề nghị VMO

Không đóng trình duyệt đến khi xuất hiện nút TẢI XUỐNG

Tài liệu tham khảo Lời giải đề nghị VMO | Lời giải đề nghị VMO 2010 Trần Nam Dũng Trường Đại học Khoa học tự nhiên - thành phố Hồ Chí Minh Bài 1. Giải hệ phương trình Ị x4 - y4 240 I x3 2y3 3 x2 4y2 4 x 8y Lời giải. Cách 1. Nhân phương trình thứ hai với 8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được x4 - 8x3 24x2 - 32x 16 y4 - 16y3 96y2 - 256y 256 hay x - 2 4 y - 4 4. Từ đây ta suy ra ngay x y 2 hoặc x 6 y. Trường hợp x y 2. Thay vào phương trình đầu ta được 8y3 24y2 - 32y 16 240 y3 - 3y2 4y 28 0 y 2 y2 - 5y 14 0. Từ đây ta tìm được y 2 và x 4. Trường hợp x 6 y. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có 24y3 216y2 - 864y 1296 240 y3 9y2 36y 44 0 y - 2 y2 - 7y 22 0 suy ra y 2 và x 4. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x y 4 2 và x y 4 2 . Cách 2. Đặt y 2t thay vào phương trình và viết lại hệ dưới dạng Ị x4 16 16 t4 16 1 x3 - 3x2 4x 16 t3 - 3t2 4t 2 Chủ ý đây chỉ là đáp án tham khảo không phải là đáp án chính thức. 1 2 Trần Nam Dũng Nhân chéo hai phương trình này ta được x4 16 t3 3t2 4t t4 16 x3 3x2 4x . 3 Dễ thấy nếu x t là nghiệm của hệ thì xt 0 nên ta chia hai vế của phương trình trên cho x2t2 thì được fx2 12 ì t - 3 4 4 t2 126 Wt - 3 41. x2 t t2 t Từ đây nếu đặt u x và v t 4 thì ta có xt u2 8 v 3 v2 8 u 3 u2v v2u 3 u2 V2 8 u v 0 u v uv 3 u v 8 0. 4 Từ 1 ta suy ra rằng x và t cùng dấu. Do đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta dễ dàng suy ra u V hoặc cùng 4 hoặc cùng 4. Suy ra u 3 và v 3 luôn lớn hơn hay bằng 1 hoặc luôn nhỏ hơn hay bằng 7. Suy ra uv 3 u 3 8 u 3 v 3 1 0. Dấu bằng chỉ có thể xảy ra khi u V 4. Từ lý luận trên và từ 2 ta suy ra u V từ đó suy ra x t hoặc x 4. t Trường hợp x t. Thay vào phương trình 1 ta được t4 16 16 t4 16 vô nghiệm. Trường hợp x 4. Thay vào phương trình 1 ta được 256 16 16 t4 16 16 t4 16 t4 1 suy ra t 1. Từ đó ta được các nghiệm x y 4 2 và x y 4 2 . Nhận xét. Lời giải 1 khá ngắn gọn nhưng đó là một ý tưởng không dễ nghĩ ra. Nếu như đặt x 2u y 2v và đưa về hệ phương trình J u4 - V4 15 2 u3 - 2v3 3 u2 - 4v2 - 2 u - 8v thì có lẽ sẽ dễ nhìn thấy các hệ số nhị thức hơn. Dù sao thì

TÀI LIỆU LIÊN QUAN
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.