Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Giáo trình toán học - Tập 3 P4

Giải tích được thiết lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là "ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp. Giải tích có một cách gọi phổ thông hơn là phương pháp tính. | 84 Chương 1 Không gian vectơ định chuẩn 1.43 Phần nâng cao dành cho khoa MP định lý điểm bất động Định lý Định lý điểm bất động ChoFe ÍP E f F - F là một ánh xạ. Nếu F đủ và nếu là ánh xạ co thì nhận một điểm bất động và chỉ một và với mọi a thuộc F dãy wn e N xác định tời WQ ứ VneN hội tụ đến điểm bất động cùa . Ta nhắc lại rằng X là một điểm bất động của khi và chỉ khi x X. là ánh xạ co khi và chí khi tồn tại k e 0 1 thỏa mãn V x y e F2 dịfỊx f y á kd x y . Chứng tninh 1 Nếu X y là hai điểm bất động của thì khi đó d x y d f x f y kd x ý suy rad x ỳ 0 do k e 0 1 . Như vậy chỉ có nhiều nhất một điểm bất dộng. 2 Ta chúng minh rằng uJneM hội tụ đến điểm bất đông của . Ta chứng minh rằng À N là dãy Cauchy trong F. Với mọi n thuộc 1 1 d . M l dCffWn-l K á W . J. từ đó bằng cách lập luân truy hồi ta được d u u kMịụn Uj . Sau đó với mọi p r thuộc H X11 ta có rl r-1 díu p Í.Hp í-l kp iđ uQ ut i 0 Í O 1-7 . Cho 0 vîF J t - 0 nên tồn tại Ne ï î saocho d UQ Ul Vpeiĩ ịp N ì í . Khi đó ta có V p r G N X N p N 2 d up Up r í È và như thtf u eN là dãy Cauchy trong F. Vì F đủ nên ỉí e M hội tụ đến một phần tử ỉ của F. Vì liên tục do là ánh xạ Lipschitz nên ta suy ra được f u _ l. Nhưng mặt khác thì u 1 - l. Ta kết luân rằng . g ÏQO 1.4 Không gian đủ 85 . kn Ta cần chú ý đốn các hê thức d u l d uQ Uị và dịụ ĩ 1-k ị d un ị un với ft 1 vốn rất có ích trong các phép tính bằng số. Bài tập 0 1.4.8 Cho E là một kgvđc hữu hạn chiếu x B ữ 1 f . X - Xlàmộtánhxạ 1 - Lipschitz. Chúng minh rằng có ít nhất một điếm bất đống. Kết quả ưên đầy có còn đúng nữa không khi E jp và x S 0 1 86 Chương 1 Không gian vectơ định chuẩn 1.5 Tính liên thông theo cung Cho E II . II là một K-kgvđc hữu hạn chiều d là khoảng cách liên kết với II . II. Ta có thể mở rông dễ dàng các kết quả khảo sát dưới đây cho trường hợp một kgvđc bất kỳ. Ở đây ta gọi cung là bất kỳ ánh xạ liên tục ỵ ỉ - E trong đó I là một khoảng đóng giới nội cùa của K không rỗng và không thu về một điểm. Thay cho thuật ngữ cung người ta cũng .