Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Giáo trình toán học Tập 1 P9

Giống như với các không gian, ta có các đại số tương ứng. Các đại số này dựa trên mô hình của đại số các tự đồng cấu, vì thế nên lý thuyết tổng quát về các đại số còn được gọi là lý thuyết đại số toán tử. Chú ý là khác với các không gian, các đại số thường chỉ xét trên trường số phức. Điều này là tự nhiên vì các tự đồng cấu chỉ có thể nghiên cứu "tốt" khi trường cơ sở là đóng đại số | 134 Chương 4 Hàm một biến thưc lấy giá trị thự hoăc phức Định lý Định lý Heine Cho a b e R2 sao cho a b và f ư b - R là một ánh xạ Nếu f liên tục trên a thì liên tục đều trên íỉ b . Chứng minh có thể bỏ qua trong lần đọc đẩu tiên Lập luân phản chứng Ta giả thiết f liên tục nhung không liên tục đều. Thế thì tồn tại 0 sao cho Vr 0 3 jc x E ứ Đặc biệt với mõi n N lấy ĨỊ tồn tại . . e ư h 2 sao cho n - e Theo định lý Bolzano - Weierstrass 3.3 vì v neN. bị chạn nên tổn tại một hàm trích p và một phẩn tử c của a b sao cho c Rồi vẫn theo định lý Bolzano - Weierstrass vì xp n ngN bị chặn nên tồn tại một hàm trích T và một phần tử d của a b sao cho x p r T d Ký hiệu ơ p o T cũng là một hàm trích. V1 UhLn dược trích ra từ U B nsN. nên xữM c . Hơn nữa x ơị y d . Do Vn e N x _ - y-TỊ - bàng cách chuyển qua giới hạn ta suy I v I crựr n ra d. Mật khác vì liên tục tại c và d ta có Vì V e N . rơ r B ị ä Ị cj - fid I ä s điều trái với c d. nên chuyền qua giới hạn ta thu được 4.3 Tính liên tực 135 Bài tập Ta viết tắt chữ liên tục đều là llđ . 0 4.3.21 íỌ Cho Ẳ e R g R. Chứng minh rằng ỉ f ltd Ị ltd. 2 ự g ltd Ảf g ltd. X hđ 1 V ỉ . 3 ltd- 3C e R .V.re7 g x c g 4 f g ltd Supự g lnf g ltd . b Chứng tỏ ràng nếu R ltd và g R ltd sao cho f F c J thì go ỉ - R ltd. -r g 1 ji 0 4.3.22 Mô tả tâp hợp các ánh xạ R R sao cho ltd f là song ánh không ltd 4.3.7 Ánh xạ Lipschitz Định nghĩa Cho ánh xạ ỉ - R. 1 Cho k e R . Ta nói là ánh xạ -Lipschitz khi và chỉ khi V xj -r2 e l2 xi - f x2 ị k xỴ - x2 Ị. 2 Ta nói f là ánh xạ Lipschitz khi và chỉ khi tồn tại k R sao cho là ánh xạ -Lipschitz. Một ánh xạ f Ị - là một ánh xạ co khi và chỉ khi tôn tại k e 0 1 sao cho f là ánh xạ -Lipschitz. VÍ DỤ J R R là ánh xạ 1-Lipschitz vì . . IN-NI I I e R . Jn 1 2 nS U - L 136 Chương 4 Hàm một biến thục lấy giá trị thực hoác phức 2 R R không là Lipschitz ben vì tỷ số bằng không bị r r-ị h xl x2 chận khi r J r2 chạy khắp R2 sao cho . Nhặn xét Ị i f ỉ - R là ánh xạ Lipschitz khi và chỉ khi J M W. x.y e 2. X vị bị chạn.