Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 8

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 Xét bài toán có dạng như sau: Tìm hàm y =y(x),với x xác định trong khoảng [a,b] thoả mãn: | Chương 8 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 8.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CƠ BẢN 8.1.1 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 Xét bài toán có dạng như sau Tìm hàm y y x với x xác định trong khoảng a b thoả mãn y f x y 8.1 y Xo yo X0 e a b Bài toán 8.1 gọi là bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1. Điều kiện y x0 y0 với x0 a gọi là điều kiện đầu hay điều kiện Cauchy của bài toán. Sau đây là một số phương pháp giải cơ bản. Phương pháp chuỗi Taylor Giả sử trong khoảng a b hàm y y x khả vi vô hạn lần tại x0 e a b . Khi đó lời giải của phương trình có dạng y xo í X y xo 2 y xo n y x _ y xo ip- x - x0 2ị x- x0 . -n- x - xo . Các thành phần trong biểu thức có thể tính như sau y x0 y0 y x0 f x0 y0 y x y x f x x y f yy 8.2 y xo f xo yo f xo yo .y xo y x y x . 205 Phương pháp chuỗi Taylor là phương pháp chính xác và lời giải của bài toán là một hàm được xác định dưới dạng chuỗi. Điều này không thuận tiện cho việc tính toán và lập chương trình. Vì vậy chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp số để giải bài toán 8.1 nghĩa là lời giải bài toán sẽ được tìm dưới dạng bảng số. Phương pháp Euler Đầu tiên giống như nội suy chia khoảng a b thành n đoạn nhỏ bằng nhau tại các điểm chia x0 a X1 . Xn b trong đó Xị a ih và h - -. Sau đó n tính theo công thức lặp 0 y0 8.3 Ui 1 Ui hf Xi Ui i 0 1 2 . n -1 Trong đó Uị là giá trị xấp xỉ của yi y Xi . Dễ dàng nhân thấy trong pháp pháp Euler hướng dịch chuyển của hàm tại mỗi bước i là đạo hàm xấp xỉ của hàm y x tại Xị. Công thức Euler được xây dựng dựa trên sự khai triển bậc nhất của hàm y x tại Xị. Do đó dễ dàng chứng minh được sai số của phương pháp Euler là y - ui 0 h . 8.4 Rõ ràng đây là phương pháp có cấp chính xác thấp. Tuy nhiên phương pháp Euler đơn giản và dễ tính toán nên nó thường được sử dụng làm ước lượng thô cho một số phương pháp khác. 206 Phương pháp khai triên tiệm cận sai sô của phươngpháp Euler Giải sử ta tính các giá trị Uị u Xi hai lần theo phương pháp Euler Lần thứ nhất với bức đi