Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Giáo trình Toán học phần 4

Tích Phân Phức Với mọi a ∈ D tuỳ ý F (z) − F(a ) 1 f (ζ ) 1 f (ζ ) = z →a ∫ (ζ − a)(ζ − z) dζ → 2πi ∫ (ζ − a) 2 dζ z−a 2 πi Γ Γ Suy ra h m F có đạo h m cấp một trong miền D tính theo công thức (3.5.2) v do đó giải tích trong miền D. | Chương 3. Tích Phân Phức Với mọi a e D tuỳ ý F z - F a 1 r f Z dZ__ 1 r f Z dZ z - a 2ni J Z - a Z - z z 2ni J Z - a 2 Suy ra hàm F có đạo hàm cấp một trong miền D tính theo công thức 3.5.2 và do đó giải tích trong miền D. Giả sử hàm F có đạo hàm đêh cấp n - 1 trong miền D Với mọi a e D tuỳ ý n 1 Y Z- a k Z- z n-1-k F n-1 z - F n-1 a n -1 r Z á dZ z- a 2ni J Z- a n Z- z n é L f OnldZ 2ni r Z- a n 1 Suy ra hàm F có đạo hàm cấp n trong miền D tính theo công thức 3.5.2 Hê quả 1 Cho miền D có biên định hương dương gồm hữu hạn đường cong đơn kín và trơn từng khúc. Nêu hàm f liên tục trên D giải tích trong D thì có đạo hàm mọi cấp trong miền D. V n z e z X D f n z -n I f Z _ dZ 3.5.3 2ni Ị Z-z n 1 b 7 Chứng minh Nêu D là miền đơn liên thì biên 3D là đường cong r định hướng dương đơn kín và trơn từng khúc. Theo công thức 3.4.3 ta có V z D f z 2 7 XfZzdZ F z Kêt hợp với công thức 3.5.2 suy ra công thức 3.5.3 Nêu D là miền đa liên biên đổi miền D thành miền D1 đơn liên như trong hệ quả 2 Đ3. Sau đó sử dụng kết quả đã biết cho miền đơn liên tính cộng tính và tính định hướng của tích phân. Hê quả 2 Cho đường cong r đơn kín trơn từng khúc định hướng dương và hàm f liên tục trên D r giải tích trong Dr. V a e Dr X . f z dz f n a 3.5.4 - z - a n 1 n v 7 Chứng minh Suy ra từ công thức 3.5.3 Ví dụ Tính tích phân I X e dz z 1 3 với r là đường tròn z 2 định hướng dương Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 51 Chương 3. Tích Phân Phức Hàm f z ez liên tục trên hình tròn z 2 giải tích trong hình tròn z 2. Thoả mãn công thức 3.5.4 suy ra 2ni -1 I f -1 nie1 2 Hê quả 3 Định lý Morera Cho hàm f liên tục trên miền D và với mọi tam giác A a D I f z dz 0 dA Khi đó hàm f giải tích trên miền D. Chứng minh Với a e D tuỳ ý kí hiệu B B a ỗ a D. Vì hàm f liên tục trên B nên khả tích trên mọi đoạn thẳng a z với z e B. Do đó hàm F z f Z dZ với z e B a xác định đơn trị trong hình tròn B và F a 0. 3.5.5 Ngoài ra với mọi z h e D X V sao cho z z h a B F z h - F z h f z 1 h z h I f Z - f z dZ sup f Z - f z