Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 DH quốc gia HCM phần 9

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 4.1. Ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm ậ Ðịnh lý ỳicard ấ Nếu fậxờyấ liên tục trong một miền hình chữ nhật ắầ a x b, c y d và ∞oậxoờyoấ là ữ ðiểm trong của ắề ẩhi ðó bài toán ũauchy ầ tìm y thỏa ầ y’ ụ fậxờyấ thỏa ðiều kiện yo ụ xo có ít nhất một nghiệm y ụ (x) khả vi liên tục trên một khoảng mở chứa | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Tuy nhiên với bài toán điều kiện đầu còn gọi là bài toán Cauchy thì ta có định lý sau về sự tồn tại duy nhất nghiệm. 4.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Định lý Picard Nếu f x y liên tục trong một miền hình chữ nhật D a x b c y d và Mo xo yo là 1 điểm trong của D. Khi đó bài toán Cauchy tìm y thỏa y f x y thỏa điều kiện yo xo có ít nhất một nghiệm y ọ x khả vi liên tục trên một khoảng mở chứa xo. Ngoài ra nếu fy cũng liên tục trên D có thể trên một khoảng mở chứa xo. nhỏ hơn thì nghiệm đó là duy nhất klThí dụ 8 Xem bài toán Cauchy y y y 0 0 Có hai nghiệm là y 0 và tính duy nhất vì thực ra có nhiều nghiệm nhu vậy không thỏa không liên tục trong lân cận điểm 0 0 -_ . . . _ . y yOo x0 klTlìí dụ 9 Xem bài toán Cauchy X Zo .X. . z Với xo 0 có 1 nghiệm duy nhất là y Cox Với xo 0 yo 0 không có nghiệm vì đuờng cong tích phân y Cx không thể đi qua . . . . . . . . 0 yo với vo - 0 . Khi đó hàm X không liên tục tại 0 yo . Còn tại 0 0 thì bài toán lại có vô số nghiệm vì tất cả các đuờng cong tích phân đều đi qua 0 0 II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1. Phương trình tách biến hay biến phân ly a Là phuơng trình vi phân có dạng f1 x f2 y .y 0 hay f1 x dx f2 y dy 0 1 b Cách giải Lấy tích phân phuơng trình 1 thì có Jfi x dx fj y y dx c b. hay 99 Sưu tâm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 hữriìí dụ 1 Giải phương trình vi phân y 1 ự y2 . ex Phương trình được đưa về dạng dy 1 y2 e ảx c arctgy e c y i y o c Lưu ý Phương trình fi x gi y dx f2 x g2 y . dy 0 2 Nếu gi y fz x 0 thì có thể đưa phương trình trên về dạng phương trình tách biến bằng cách chia 2 vế cho g1 y g2 x ta được ĩlíậi ỉdgdy - 0 8i y 3 Nếu g1 y 0 thì y b là nghiệm của 2 . Nếu f2 x 0 thì X a là nghiệm của 2 . Các nghiệm đặc biệt này không chứa trong nghiệm tổng quát của phương trình 3 ũlThí dụ 2 Giải phương trình vi phân y2 - 1 dx - x2 1 y dy 0 Với y2 - 1 0 ta có dx _ ydy sp 1 y2 -1 f - f yt J X2 1 J y2 -1 arctg X - -ln y2 _1 c Ngoài nghiệm tổng quát này ta nhận thấy còn có 2 nghiệm y 1 .