Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Advanced Engineering Math II phần 2

Hãy suy nghĩ của tập hợp các số thực như là một tập hợp con của IC bằng cách viết các số thực x là (x, 0). Số phức (0, 1) được gọi là i. Ví dụ 3 = (3, 0), (0, 5), ( -1, π), i = (0, 1). Đại diện hình học của một số phức tạp trong lớp. Ngoài ra định nghĩa 1,2 và nhân số phức, và cũng nhân bởi số thực được | 2. We calculate w In z as follows First write z in the form z reid. Now let w u iv. Then ew z gives eu iv z reie. Thus eu eiv re 0. Equating magnitudes and arguments eu r v 0 or u ln r v 0. Thus Formula for In z lnz lnr i0 r Izl 0 arg z 3. If 0 is chosen as the principal value of arg z that is -n 0 n then we get the principal value of ln z called Ln z. Thus Formula for Ln z Lnz lnr i0 r Izl 0 Arg z Also lnz Lnz i 2nn n 0 1 2 . What about the domain of the function Ln Answer Ln C- 0 C. However Ln is discontinuous everywhere along the negative x-axis where Arg z switches from n to numbers close to -n. If we want to make the Ln continuous we remove that nasty piece from the domain and take Ln z I z 0 and arg z n C 4. ln 0 is still undefined as there is no complex number w such that ew 0. Examples 3.7 a ln1 0 2nni 2nni b ln4 1.386. 2nni c If r is real then ln r the usual value of ln r 2nni d lni ni 2 2nni e ln -1 ni 2nni f ln 3-4i ln5 i arg 3-4i 2nni ln5 i arctan 4 3 2nni Ln 1 0 Ln 4 1.386. Ln r ln r Ln i ni 2 Ln -1 ni Ln 3-4i ln5 i arctan 4 3 More Properties 1. ln z w lnz lnw ln z w ln z - ln w . This doesn t work for Ln eg. z w -1 gives Ln z Ln w ni ni 2ni but Ln zw Ln 1 0. 2. Ln z jumps every time you cross the negative x-axis but is continuous everywhere else except zero of course . If you want it to remain continuous you must switch to another branch of the logarithm. Lnz is called the principal branch of the logarithm. 3. eln z z and ln ez z 2nni eLn z z and Ln ez z 2nni For example z 3ni gives ez -1 and Ln ez ni z. 11 Exercise Set 3 p. 817 1 3 5 11 13 17 21 23-31 odd 35 37 45 p. 821 1 5 7 11 13 15 23 Hand In 1. Find functions f that do the following a Map the region z I 0 arg z n 2 onto the whole plane b Map the upper half plane to the lower half plane c Maps the second quadrant onto the right-half plane d What happens to the strip x iy I 0 y 1 x 0 under the map fz ie-z 2. A Mobius transformation is a complex function of the form _ az b f z cZ d a Find a Mobius