Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1

Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử U=1(X,Y) là V =2(X,Y)với 1,2là các hàm đơn trị sao cho 1(U,V) (X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X =2(U,V).Giả thiết1,2 tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi UV(u,v) = f(1(u,v), 2(u,v)) Chú ý: Công thức trên có thể. | T- l 1 Ấ -7 1 A r 1 Ấ X 1 K Phân phôi của hàm các biên ngâu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1. Cho X Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f x y . Giả sử U ĩ 1 X Y và V ÍĨ 2 X Y với 1 ĩ 2 là các hàm đơn trị sao cho X Y được xác định duy nhất từ giá trị của U V là X ỉ11 U V và Y 2 U V . Giả thiết ĩ11 ĩ tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi dVi 3u 3ti 3u guv u v f 1 u v 2 u v với J Chú ý Công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên X1 X2 . Xn. Ví dụ 1.2. Cho X Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số 1 Xác định hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên u X Y và X Y. Chứng minh U V là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giải. Do X Y độc lập nên hàm mật độ đồng thời của X và Y là e- 0 x y neu x y 0 vái các x y khác Xét phép biến đổi u x y X uv V _ X y T v u u l-v 1 - x y và 1-v - -u Với x y 0 thì u 0 và 0 v 1. Theo Mệnh đề 1.1 hàm mật độ đồng thời của U và V là fU v u v nếu u ũ và ũ V 1 vối cấc V khắc Từ đó hàm mật độ của U là -mo fư u JfU v u Y dY Jue udv ue u 0 0 nếu u ũ nếu u Ũ và hàm mật độ của V là u v du J ue-udu 1 nếu V E 0 1 0 0 nếu V Ề 0 1 Cuối cùng do fU V u v fU u .fV v nên U V độc lập. 2. Tích chập của các phân phối Bài toán 2.1. Giả sử X1 X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tương ứng là f1 x và f2 x . Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U X Y. Giải. Xét phép biến đổi u c x y X V J Ũ 1 V X _y u _ v và 1 -1 Theo Mệnh đề 1.1 hàm mật độ đồng thời của U và V là gUV u v fX Y v u - v .1 fX Y x u - x Vì X1 X2 độc lập nên hàm mật độ của U là J gU V u y d Y J x u - z dz J fj 7X2 u - x d X gU u - và hàm phân phối của U là Fu u Jgu Odt J KiOXiít -x dxdt Định nghĩa 2.2. Hàm phân phối FU u xác định như trên được gọi là tích chập của hai hàm phân phối F1 x và F2 x của các biến X1 X2 kí hiệu là F1 F2. Tích chất 2.3. F1 F2 F2 .