Tài liệ tham khảo về một số bài toán về cực trị đại số trong các đề thi tuyển sinh đại học gần đây | 1 TÌM GTLN VÀ GTNN A. Kiến thức cơ bản Công cụ để tìm GTLN - GTNN của một hàm số hay một biểu thức thường là 1 Sử dụng các bất đẳng thức có tên gọi đã biết. 2 Sử dụng một số bđt đơn giản để đánh giá. 3 Đặt ẩn phụ đưa về các dạng quen thuộc. 4 Qui về một biến để sử dụng phương pháp dùng đạo hàm. 5 Lượng giác hóa. 6 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. B. Một số ví dụ VDị Cho x y z là ba số thực dương thỏa x y z 1. Tìm GTNN của P - xyz Giải Ta có 1 x y z 2 x y z ỵ x y z x y z 2 1 4 x y z x y 4 x y 2 z 4. 2 Jxy 2 z 16xyz x y _ 16 xyz x y z r Jx y 1 4 x y z 1 2 x y z 1 Suy ra minP 16 đạt được VD2 Tìm GTLN của biểu thức yzjx -1 zxJy - 2 xyVz - 3 p ------------_------------- xyz Giải ĐK x 1 y 2 z 3 1 Viết lại P 1 JPjL xyz Cách 1. Ta có . . . --- -Jx - 1 1 x x - 1 1 2V x - 1 4. x 3 z _ rr ----yj y - 2 1 y y - 2 2 2 2 y - 2 -- L y 2V2 ----- a z - 3 1 z z - 3 3 3 z - 3 z 2V3 Suy ra P 1 - - r với mọi x y z thỏa 1 . 2 2 2 2V3 1 2 Nên MaxP 1 - - 6 3 2 3 đạt được khi 2 N2 W3 12 x 2 y 4 z 6. Cách 2 Xét hàm số f x x 1 x e l x Tính f z x giải phương trình f z x 0 lập BBT suy ra Maxf x 1 2. Tương tự cho hai biểu thức còn lại . VD3 Cho ba số thực dương x y z thỏa x y z . Tìm GTLN của biểu thức P ự tan y 1 yl tan y tan z 1 y tan z tan x 1 Giải ft I I lừ x y z - ta có tan x y tanl - z I 1 1 Đặt a tanx b tany c tanz. Ta có P ab 1 ạ bc 1 ạ ca 1 P2 ab bc ca 3 2Q ab 1 bc 1 bc 1 ca 1 yj ca 1 ab 1 - ab 1 bc 1 bc 1 ca 1 ca 1 ab 11 8 P 4 2 ------------- ------------ --------------I 4 12 2 2 2 2 P 2V3 MaxP 2V3 ab bc ca 1 3 Chú ý ba số thực x y z cho trong bài toán có thể thay bằng ba góc A 2 B 2 C 2 của tam giác một tam giác ABC nào đó. VD4 Tìm GTNN của hàm số y Ilog x 2 1 3 x 2 Iog3 x2 x 2 1 Giải TXĐ D V3 V3 V2 ũ Đặt t log x2 1 3 x2 . Ta có y 1 1 t It t t 2 Suy ra miny 2 đạt được t 1 . VD5 Cho ba số thực không âm x y z thỏa x y z 4 Tìm GTLN của biểu thức P 7 2 x 1 7 3 y 1 4 4 z 1 Giải Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có P2 5 1 2 5 1 3 1 4 2 2
