Tài liệu tham khảo đề thi môn toán cấp 3 | 6. Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương 6. TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. CÁC ĐỊNH NGHĨA x 1. Phân thức hữu tỉ - 7-4 với p x ơ x là các đa thức với các hệ sổ thực ỡtv K 7 p x 2. Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ 44-4 với degP x degQ x Q x 3. Phân thức đơn giản Là các phân thức có 1 trong 4 dạng sau A Bx 4- c Bx c . 2 7 _ n . _ atA -77- .2 . . T à p2-4q 0 keN X a x-àị X px q x2 px q 4. Định lý tổng quát về phân tích đa thức Mọi đa thức ộ x ớ với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử gồm các nhị thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai với biệt thức A 0 tức là ta có Q x A x- a Ỵ . x - ak Ỵk x2 PịX q Ỵ . x2 p x qm trong đó A 0 ah ak là các nghiệm thực phân biệt của Ổ x và Pi qt là các sổ thực thoả mãn 4 p2 - 4qt 0 deg Q rt . rk 2 sị 4-. sm II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TÌ 1. Đặt vấn đề Xét r dx với P x Q x là các đa thức với hệ số thực. Nếu degP x degQ x thì thực hiện phép chia đa thức ta có p x X p x - . G x 4- 7-4 degP degQ ỌM q x p x P x _ dx Gvc dx -- dx ô x J Jô x . A _ fp x Vrcó thể de dàng tính được ơ x í x nên việc tính r - I - dx được đưa về tính p x 2 .v dx với deg p x degQ x 73 Chuff ng I Các kĩ thuật tính tích phân - Trần Phương 2. Phương pháp chung tính I fP x 4 vói degP x degQịxịi Định lý Nếu Q x -A x-a f . x-akỴk x2 p7x 77 . x2 pmx qmỴ thì mọi phân thức hữu tỉ thực sự đều biếu diên được dưới dạng p x _ Aịj AI-Ị I AIik A2 k Ark k ổ v x-í 7 x - at Ỵ J x-ak x-ak 2 x-ak Để bạn đọc dễ hiểu ta xét 4 trường hợp đặc biệt với các biểu diễn tương ứng . Nếu ộ x x-í 7 . x-ữz_7 x-ứz x-az 7 . x-a thì giả sử . Nếu Xx x-í77 . x-ữz_7 x-ữz x-a 7 . x-a thì giả sử p x x A 4- r BI - 4- . 4-- 4- --Ị X - aì X - a Ị X - dị x at I x-an . x x - ơ7 . x - a _ x2 px q x - ơz 7 . x - an p2 -4q Ò p x _ 4 4-1 t Bx C 4 I _ 4 - 4-. 4- A 4- --------4- 4-. 4- Vx Q x x-ax X ai-1 X px q x-aM x an . Q x x-a1 . x-ai_1 x2 px q k x- . x-an p2 -4q 0 p x 2 x 4 X - ax
