ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN, NĂM 2011 Môn thi: Toán học | ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 Môn thi Toán học Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. 1. Giải hệ phương trình x - 1 y2 x y 3 y - 2 x2 y x 1. 2. Giải phương trình V x x 2 2 7 x 1 Câu 2. 1. Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên x y z thỏa mãn đẳng thức x4 y4 7z4 5. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên x y thỏa mãn đẳng thức x 1 4 - x - 1 4 y3. Câu 3. Cho hình bình hành ABCD vớBAD 90 . Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB CD tại E F. 1. Chứng minh rằng AOBE AODC. 2. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. 3. Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng . Câu 4. Với x y là những số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức V V P x3 4y3 x3 8y3 y3 x y 3 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 Môn thi Toán học Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài 150 phút Câu 1. 1. Giải phương trình 2. Giải hẹ phương trình x 3 - x 1 - x 1 1. . _ . x2 y2 2x2y2 x y 1 xy 4x2y2. Câu 2. 1. Với mọi số thực a ta ký hiệu a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì biểu thức V 2 3 n - n 1 27 3 không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên. 2. Với x y z là các số thực dương thoả mãn xy yz zx 5. Tìm GTNN của biểu thức 3x 3y 2z V z2 5 P V 6 x5 5 6 y2 5 Câu 3. Cho hình thang ABCD với BC II AD. Các góc BAD vàCDA là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở I. Gọi P là điểm bất kì trên đoạn thẳng BC P B C . Giả sử đường tròn ngoại tiếp ABIP cắt đoạn thẳng PA ở M khác P và đường tròn ngoại tiếp CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P. 1. Chứng minh rằng 5 điểm A M I N D cùng thuộc một đường tròn gọi đường tròn này là K 2. Giả sử BM cắt CN ở Q. Chứng minh Q cũng thuộc K . 3. T rong trường hợp P I Q thẳng hàng chứng minh
