Cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y, ) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y, ) thuộc D thì f(x,y, ) M với M là hằng số - Tồn tại (x0, y0 , ) thuộc D sao cho f(x0, y0 , ) = M 2. Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y, ) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y, ) thuộc D. | CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CựC TRỊ ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1. Định nghĩa1 Cho biểu thức f x y . xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f x y . trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn - Với mọi x y . thuộc D thì f x y . M với M là hằng số - Tồn tại x0 yo . thuộc D sao cho f x0 yo . M 2. Định nghĩa 2 Cho biểu thức f x y . xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f x y . trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn - Với mọi x y . thuộc D thì f x y . m với m là hằng số - Tồn tại x0 y0 . thuộc D sao cho f x0 y0 . m II. CÁC KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG Xét biểu thức chứa biến P x P x y . .Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN P hay maxP còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN P hay minP. 1 Cho P A B thì maxP maxA maxB và min P min A minB Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau hoặc nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN GTNN tại một giá trị xác định x x0 tức là maxA A x0 maxB B x0 thì maxP P x0 . 2 Cho P -1 với A 0 thì maxP 1 A min A 3 a P x y Q x y 2n a a với a là hằng số n e N Nếu có x0 y0 sao cho Q x0 y0 0 thì min P x y a với mọi x y thuộc D b P x y - Q x y 2n b b với b là hằng số n e N Nếu có x0 y0 sao cho Q x0 y0 0 thì maxP x y b với mọi x y thuộc D 4 A 0 thì max A2 maxA 2 và min A2 minA 2 5 Các dạng của bất đẳng thức Cô-si a a b 14ãb a 0 b 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b b a - 2 ab 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 6 Bất đẳng thức Bunhiacopsky ax by 2 a2 b2 x2 y2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx 7 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối a -I a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 8 Định lý về dấu của tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c a 0 Khi đó Nếu A 0 thì f x luôn luôn cùng dấu với a Vx G R Nếu A 0 w D - b thì f x luôn luôn cùng dấu với a Vx G R x 2a Nếu A 0 thì f x cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 .
