Tìm một chữ số tận cùng của an : -Nếu a có chữ số tận cùng là 0; 1; 5 hoặc 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng lần lượt là 0; 1; 5 hoặc 6. -Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3 hoặc 7, ta vận dụng nhận xét sau với k Z 24k ≡ 6 (mod 10) 34k ≡ 1 (mod 10) 74k ≡ 1 (mod 10) Do đó để tìm chữ số tận cùng của an với a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7 ta lấy n. | Dạng 2 Tìm chữ số tận cùng của một số a Tìm một chữ số tận cùng của an -Nếu a có chữ số tận cùng là 0 1 5 hoặc 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng lần lượt là 0 1 5 hoặc 6. -Nếu a có chữ số tận cùng là 2 3 hoặc 7 ta vận dụng nhận xét sau với k e Z 24k - 6 mod 10 34k - 1 mod 10 74k - 1 mod 10 Do đó để tìm chữ số tận cùng của an với a có chữ số tận cùng là 2 3 7 ta lấy n chia cho 4. Giả sử n 4k r với r e 0 1 2 3 Nếu a - 2 mod 10 thì an - 2n 24k r - mod 10 Nếu a - 3 mod 10 hoặc a - 7 mod 10 thì an - a4k r - ar mod 10 Ví dụ 1 Tìm chữ số cuối cùng của các số a 62009 b 92008 c 32009 d 22009 Giải a 62009 có chữ số tận cùng là 6 vì 6 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên khác 0 vẫn bằng chính số 6 b 92008 92 1004 811004 . 1 có chữ số tận cùng là 1 91991 92 .1 .9 . 9 có chữ số tận cùng là 9 Nhận xét Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn khác 0 nào thì chữ số tận cùng là 1 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên lẻ thì có số tận cùng là 9. c 32009 34 8 1 . 1 .3 . 3 có chữ số tận cùng là 3. d 22009 24 . 6 .2 . 2 có chữ số tận cùng là 2 Ví dụ 2 Tìm chữ số tận cùng của các số sau a 421 b 3103 c 84n 1 n e N d 1423 2323 7023 Giải a 430 42 15 1615 .6 có chữ số tận cùng là 6 421 420 1 42 .6 .4 . 4 có chữ số tận cùng là 4 Nhận xét Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6 khi nâng lên với số mũ tự nhiên lẻ có số tận cùng là 4 b 3103 32 . 9 .3 . 7 có chữ số tận cùng là 7 4n 1 4n 3 4n 12n 4 3n 3n c 8 8 .8 2 .8 2 .8 2 .8 16 .8 .6 .8 . 8 có chữ số tận cùng là 8 d 1423 . 6 .14 . 4 2323 232 . 9 .23 .7 7023 . 0 Vậy 1423 2323 7023 . 4 . 7 . 0 . 1 có chữ số tận cùng là 1 b Tìm hai số tận cùng của số an Ta có nhận xét sau 220 - 76 mod 100 320 - 01 mod 100 65 - 76 mod 100 7 4 01 mod 100 Mà 76n - 76 mod 100 với n 1 5n - 25 mod 100 với n 2 Suy ra kết quả sau với k là số tự nhiên .
