Tham khảo tài liệu 'chương 2: sáng tạo bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 105 Chương 2 Sáng tạo bất đẳng thức Các bài toán chọn lọc Bài toán Phạm Kim Hùng . Chứng minh rằng nếu a b c là các số thực không âm thoả mãn a b c 3 thì ta có a2 ab ò2 ò2 - bc c2 ủ2 - ca a2 12. LỜI Giải. Không mất tính tổng qụát ta có thể giả sử rằng a b c. Khi đó b2 - bc c2 b2 a2 - ac c2 a c 2 a2 - ab b2 a c 2 - a c b b2. Ta sẽ chứng minh M a c 2b2 ữ c 2 - a c ỏ ò2 12. Thật vậyt đặt a c-b a b c 3 X ------ 0 5 ------------ - 2 2 2 Khi đó M có thể viết dưới dạng s2 - a 2 2 s2 3x2 . Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có s2 - z2 . s2 - z2 - s2 3x2 f s2 27 9 27 M 12. 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .c 0 s2 9a 2 a 2 b 1 c 0. 106 Chương 2. Sảng tạo bất đẳng thức Bài toán Walther Janous . Giả sửa b c là các số thực dương. Chứng minh bất dắng thức 1 1 . 1 1 1 1 9 a b c 1 a 1 b 1 c 1 abc LỜI Giải. Theo bất đẳng thức Hoán vị dễ thấy rằng 1 1 1 1 1 1 ữ l ữ b l b c l c _ b l c c l a a l b Và do đó bất đẳng thức trên sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh được ràng 1 1 1 3 b l c c l à a l b - 1 abc 1 . 1 1 3 l 11 a l c c l b b l a 1 abc Chỉ cần chứng minh 1 trong 2 bất đẳng thức trên. Chẳng hạn với bất đẳng thức thứ nhất đặt a ky x b kz y c kx z ta có bất đẳng thức tương đương là 1 1 1 3 kz y k2x y kx z k2y z ky x k2z x 1 fc3 y z X ĩk ------1------1-------- - . z kx X ky y kz 1 fc3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có VT x y z 2 3 _ i xy yz zx k 1 Vì thế chỉ cần chứng minh thêm Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X y z k l- -a b C 1. Bài toán Russia MO 2000 . Chứng minh rằng nếu a b c 0 và a b c 3 thì ta có bất đẳng thức ỵ ã b y c ab bc ca. LỜI Giải. Ta có 2 ab bc cà ữ b c 2 - ữ2 b2 c2. . Các bài toán chọn lọc 107 Ta phải chứng minh G2 ò2 c2 2 ựã ựb c 0. Sử dụng bất đẳng thức AM GM cho 3 số hạng ữ2 Ị Õ 4- 3a ò2 y b Vb 3Ỏ c2 y c ực 3c. Vậy á2 b2 c2 2 ựã y b y c 3 a b c 9. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài toán Phạm Kim Hùng . Giả sử Xi X2 . xn là các số thực không âm có tích bằng 1. Chứng minh rằng 2 2 2 Xl X2 . xn - . - 1 2 1 1 x2 1 xn LỜI .
