Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến vì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức. Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS; . mà do chính người VN ta tìm ra. | A 4 3 .1 z. . y 4 y Chuyên đê vê bất đăng thức cô điển Lương Hải Đăng 10T2 Trường THPT chuyên ĐHSPHN I. LỜI NÓI ĐẦU Bất đăng thức là một lĩnh vực khó yêu cầu óc quan sát linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm vê lượng kiến thức. Chính vì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đăng thức. Có thể nói hiện nay có râĩ nhiều phương pháp hiện đại chăng hạn như SOS . mà do chính người VN ta tìm ra. Để chứng minh bất đăng thức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào cũng giải được. Nhưng liệu khi đi thi chúng ta có đủ thời gian để sử dụng chúng không Nên việc tìm ra lời giải bằng các đăng thức cố điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đôi với những người yêu bất đăng thức. Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đăng thức quen thuộc côsi AM-GM bunhia Cauchy - Schwarz trong giải các bài bất đăng thức đại sô. Hai bất đăng thức này tuy nhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phải dễ dàng. Tất cả được chỉ ra qua một lượng đáng kể những ví dụ đa dạng từ nhiều nguồn khác nhau đặc biệt là những kì thi Olympic toán hoặc trên những trang web. làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động. II. HAI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM CAUCHY- SCHWARZ VÀ ỨNG DỤNG 1. Bất đẳng thức AM - GM. Với ai a2. an là n số thực không âm ta có ai a2 . an-1 an n Dấu ai a2 . an Chứng minh bất đẳng thức này có khoảng hơn 40 cách nên xin dành lại cho bạn đọc. 1 Bất đẳng thức này rất quen thuộc và ứng dụng lớn nên nó sẽ là bất đẳng thức đầu tiên mà các bạn cần nhớ và chú ý là dấu xảy ra khi ai a2 . an-i an. 2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cs Với hai dãy số thực tùy ý ai a2 . an và bi b2 bn ta luôn có a a . a2 b b22 . bn2 aibi a2 b2 .anbn 2 Dấu J số k sao cho aj Với J 1 n Hệ quả dạng cộng mâu số a2 a2 a a a 2 . a a . l a1 a a Với xt 0 v 1 n X1 xn xn X1 x2. xn Bất đẳng thức này còn có tên gọi là Engel hay Schwarz. Chứng minh bất đẳng thức M có nhiều cách nhung có một cách này các bạn nên nhớ a1 a2 .an Ỹ b2 . b2 - aibi a2 b2 .anbn 2 ajbj - ajbi i í 1 .
