Tham khảo tài liệu 'hàm tựa đơn điệu, tựa lồi, lõm', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | hàm TỰA ĐƠN ĐIỆU TựA Lồi LÕM Nguyễn Văn Mậu Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên ĐHQGHN Ta nhắc lại định nghĩa Giả sử hàm số f x xác định và đơn điệu tăng trên I a b thì khi đó ứng với mọi a i x2 G I a 6 ta đều có f xi 2 c x2 và ngược lại ta có a i ỉ x2 Xí x2 Vxi x2 e I a b khi f x là một hàm đơn điệu giảm trên I a b . Tuy nhiên trong ứng dụng có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn chẳng hạn như 1 f x2 Xi x2 Vxi x2 0 mà Xi x2 1 thì không nhất thiết x phải là một hàm đơn điệu tăng trên 0 1 . Ví dụ với hàm số Ị x sinTTíE ta luôn có khẳng định sau đây. Bài toán 1. Nếu A B C là các góc của NABC thì sin A sinB A B. 1 Như vậy mặc dù hàm f x sinrx không đồng biến trong 0 1 ta vẫn có bất đẳng thức suy từ 1 tương tự như đối với hàm số đồng biến trong 0 1 sinTrxi sin7ra 2 4 X1 x2 Vxi x2 0 mà X1 x2 1. 2 Ta đi đến định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1. Hàm số f x xác định trong 0 6 c 0 00 được gọi ỉà hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó nếu f .xí f x2 x1 x2 Vxi x2 0 mà Xi x2 b. 3 18 Tương tự ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một khoảng cho trước. Định nghĩa 2. Hàm số fix xác định trong 0 b c 0 oo được gọi là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó nếu xi 2 2 o 2J1 ÍE2 Vxi X2 0 mà Xi a 2 b. 4 Bài toán 2. Mọi hàm f x tựa đồng biến trong 0 6 c 0 00 đều đồng biến trong khoảng Chứng minh được suy trực tiếp từ Định nghĩa 1. Thật vậy khi Xi X2 G 6 0 -1 thì hiển nhiên Xỵ X2 b và ta thu được xi 12 1 x2 Vxx X2 e 5 Hệ thức 5 cho ta điều cần chứng minh. Bài toán 3. Giả thiết rằng hàm h x đồng biến trong khoảng đó hàm số h z khi xE 0 hlb x khi X E 6 L ít 0 1. Khi 2J là hàm số tựa đồng biến trong 0 6 . Định lý 1. Dể hàm fix xác định trong 0 6 c 0 00 là hàm tựa đồng biến trong khoảng đó điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây đồng thời được thoả mãn i fix đồng biến trong khoảng ộ ii fix flb-x VrrG L í ỉ 2 Chứng minh. Diều kiện cần. Khi hàm fix tựa đồng biến trong 0 6 thì theo Bài toán 1 hàm fix đồng biến trong khoảng 0 Xét X G 6 . Khi đó để II 6 0 6 sao cho đồng thời Xi X
