Tham khảo tài liệu 'sử dụng định lý langrange trong bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Sử dụng định lý Lagrange trong bất đẳng thức và cực trị của hàm số và dãy số TS. Đỗ Thị Hồng Anh Trờng THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam Bài 1. Cho hèmf x cos atx cos a x VxeR aỊt a2 gR at a2 0 . Gọi m aj a2 mỉnf x CMR m aỊf a2 0 Valt a2 eR và a a2 0 Giải Đặt g x . sinalx sina2x . g x x 2 al a2 . sina2x g x -2 Vx e R ai a 2 CÓ thể giả thiết 0 at 32 do cosajX và cosajX là các hàm chẵn . Nếu thì f x 2 cosajX -2 0 m aỉ a2 -2 0 Xét cóg 0 0 g 3TỊ 2al 1 . 311 1 . 3Hđ2 1 sin 2- sin aí 2 a 1 1 3E a2 4- sin - ữi a2 ai _1 _1 0 al a2 a2 al . z _ . 3ĨĨ Theo Lagrange ta có 3 6 0 21 140 g 0 sao cho 0 - ù ------- 2ứi vì g x f x Vx e R Bài 2. Bất phơng trình sin x l cosx-sinx. cos x l c l có nghiêm X 5 Radian không Tại sao 1 Giải Đề thi học sinh giỏi lớp 12 thành phố Hà Nội năm 1994-1995 1 F x 2 ựcos x l ựcosx Xét hàm í - LL trên đoạn x x l cf p 2nì z - z- 2cos2r l có 0 - 3 ạ cos4 t Dễ thấy 1 do sử dụng bất dẳng thức Côsi với 3 số COS2X COS2X và 1 Áp dụng định lý Lagrange của hàm f t trên đoạn x X 1 x l - x x l -x với Ce x x 1 Vậy x 5 không là nghiêm của 1 do 5 e pp. 2 n sin x l sinx 2coszC lx. z -7 _ 1 Vcos x 1 Vcosx 3Vcos4 c oF x l 141 4 1 n 1 Bài 7. Giả sử z TT7T va 52 t-l K M K Với những n nguyên dơng nào ta có Sj s2 Giải Xét hàm f x X172 x 1 Theo định lý Lagrange n n 1 ta có n l - n y e ie- ỉ ụ ít n 172 2 n l 172 - n172 Cho n l 2 3. 4n2 cộng lại ta có Sj 4n-2 Xét f x X273 X 1 Theo định lý Lagrange ta có l - W c c l 3 I n 1 - 3 2 n l 1 3 3 n 1 273 - n273 Cho n chạy từ n-1 đến 0 cộng lại 2S2 3n2 3 3n 8n - 4 Nghĩa là 2SZ 2S1 Vn Vậy khồng tồn tại n thoả mãn bài toán. Bài 8. CMR sin eậ cos e -1 - sin e - l Vcose Ịcos e -l -cose Giải n e vàe-l l 71828 n 2 Í sin e 0 sin e-1 0 cos e 0 và cos e-l 0 Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với sine ựcose sịn e-l ực OS e-1 Đặt VCOSX .
