Lượng giác là một công cụ mạnh trong toán học, nó được ứng dụng trong giải các dạng toán khác, điển hình như hình học, khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức Các bài tập ở chương này chủ yếu nêu ra những ví dụ về sử dụng công cụ lượng giác để chứng minh những bài tập khó và giới thiệu cho các bạn một số bài toán đặc biệt. . | CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIẢC TRONG HÌNH HỌC Lượng giác là một công cụ mạnh trong toán học nó được ứng dụng trong giải các dạng toán khác điển hình như hình học khảo sát hàm số chứng minh bất đẳng bài tập ở chương này chủ yếu nêu ra những ví dụ về sử dụng công cụ lượng giác để chứng minh những bài tập khó và giới thiệu cho các bạn một số bài toán đặc biệt. Bài 1 Đinh lý Stewart Cho ABC D là 1 điểm trên cạnh BC. Đặt AD d BD m DC n. Khi đó ta có công thức sau gọi là hệ thức Stewart -- G Giải Kẻ đường cao AHxét 2 tam giác ABD và ACD và theo định lý hàm số cosin ta có c2 d2 4- m2 - 2mdcosADB d2 m2 -2mHD 1 b2 d2 n2 2nd cos ĩĩ AD d2 n2 2nd cqsADB d2 n2 2nHD Z Nhân từng vế 1 và 2 theo thứ tự với nvà m rồi cộng lại ta có nc2 4- mb2 d2 m n mn m n 3 Do -I- nên từ 3 suy ra ad2 mb2 nc2 amn i Định lý Stewart chứng minh xong. Mở rộng 1. Stewart 1717-1785 là nhà toán học và thiên văn học người Scotland. 2. Nếu trong hệ thức Stewart xét AD là đường trung tuyến thì từ hệ thức Stewart có 2 _1 -2_ and KC - a 2 2 2 2 4 chính là hệ thức xác định trung tuyến quen biết trong tam giác 3. Nếu trong hệ thức Stewart xét AD là phân giác. Khi đó theo tính chất đường phân giác trong ta có m n ac ab m vả n c b b c b c Từ hệ thức Stewart có 11 __ ac . ab _ a2be al2 T- 4-T- 1 b c b 4- c b cy bc b cy - a2 - i c 2 1 J Chú ý rằng . b2 c2-a2 b c 2-a2 2cos2 1 cos A 1 H-77----- ------77----- 6 2 2bc 2bc Từ 5 và 6 suy ra Lwc cos-p be COS- a b ep ía b c 7 chính là hệ thức xác định đường phân giác . Vậy hệ thức Stewart là tổng quát hóa của hệ thức xác định đường trung tuyến và đường phân giác đã quen biết. Bài 2 Cho ABC giả sử D và E là 2 điểm trên cạnh BC sao cho BÁ ỉ- Đường tròn nội tiếp các . ABD và . ACE tiếp xúc với cạnh BC tương ứng tại M và minh rằng 11 1 1 Vậy đăng thức cân chứng minh tương đương với đăng thức sau y E EC . Đặt BÁẼ - CÀẺ Ảp dụng định lý hàm số sin trong các ABD và ACE ta có sin oe sin B sin sin c Trong ABE theo định lý hàm số sin ta có AE .
