Môc lôc 1 Cc bµi ton §¹i sè vµ L­îng gic 2 1.1 Cc ®¼ng thøc §¹i sè thuÇn

Môc lôc 1 Cc bµi ton §¹i sè vµ L­îng gic 2 Cc ®¼ng thøc §¹i sè thuÇn tuý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cc ®¼ng thøc L­îng gic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 15 30 1 Ch­¬ng 1 Cc bµi ton §¹i. | Muc luc 1 Các bài toán Đại sô và Lượng giác 2 Các đẳng thức Đại số thuần tuý. 2 Các đẳng thức Lượng giác. 15 Phương trình và bất phương trình. 30 1 Chương 1 Các bài toán Đại số và Lượng giác Các đẳng thức Đại sô thuần tuý 1. Chứng minh rằng a2 b2 c2 d2 x2 y2 z2 t2 ax by cz dt 2 bx ay dz ct 2 cx dy az dt 2 dx cy bz at 2 2. Chứng minh rằng từ các đẳng thức ax by cz dt 0 bx ay dz ct 0 cx dy az dt 0 và dx cy bz at 0 ta suy ra rằng hoặc a b c d 0 hoặc x y z t 0. 3. Chứng minh rằng ta có đồng nhất sau 2 7 2 _ 2 2 2 2 a b c x y z ax by cz bx ay cy bz az cx 4. Chứng minh rằng các đồng nhất nói trong các bài toán trước có thể mở rộng như sau ỉ 2 I 2 I I 2 ị J i2 I r2 I I r2 A Í I rI . I r A2 a1 a2 an b1 b2 bn aibi a2b2 anbn a1b2 a2 b1 2 a1b3 a3b1 2 an-1bn anbn-1 2 5. Giả sử rằng n aị a2 a2n a1 a2 an 2 . Chứng minh rằng a1 a2 an 6. Chứng minh rằng từ đẳng thức x y 2 y z 2 z x 2 y z 2x 2 z x 2y 2 x y 2z 2 ta suy ra rằng x y z 7. Chứng minh các đồng nhất thức sau a2 b2 2 2ab 2 a b 2 6a2 4ab 4b2 3 3a2 5ab 5b2 3 4a2 4ab 6b2 3 5a2 5ab 3b2 3 2 Hà Dạy Hững Các bài toán đại số trong các cuợc thi Olympic Toán. 3 8. Chứng minh rằng p2 - q2 4 2pq q2 4 2pq p2 4 2 p2 pq q2 4 9. Chứng minh rằng X2 XY Y2 Z3 nếu X q3 3pq2 - p3 Y -3pq p q vằ Z p2 pq q2 10. Chứng minh rằng 3a 3b k 2a 4b k ak bk 3a 4b k a 3b k 2a b k với k 1 2 3. 11. Chứng minh rằng nếu x y z 0 thì ix ki n in iz k x n in kx n iz ki n ix I bx r j y Ị I I b y r j z Ị I bz r j x ị I b y r j x ị I I b z r j y Ị It b x r j z ị khi n 0 1 2 4 trong đó i là đơn vị ảo ie. i2 -1. 12. Chứng minh rằng xn x 3 n x 5 n x 6 n x 9 n x 10 n x 12 n x 15 n x 1 n x 2 n x 4 n x 7 n x 8 n x 11 n x 13 n x 14 n khi mà n 0 1 2 3 13. Chứng minh các đồng nhất thức sau đây i. a b c d 2 a b - c - d 2 a c - b - d 2 a d - b - c 2 4 a2 b2 c2 d2 ii. a2 - b2 c2 - d2 2 2 ab - bc dc ad 2 a2 b2 c2 d2 2 - 2 ab - ad bc dc 2 iii. a2 - c2 2bd 2 d2-b2 2ac 2 a2-b2 c2-d2 2 2 ab-bc dc ad 2 14. Chứng minh đồng nhất thức sau đây 7 I .