Tham khảo tài liệu 'lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lượng tử part 2', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Trước hết ta hãy chứng minh các hệ thức XiX bijkXk i j - 1. s 13-1 k 1 trong đó Xi i 1 . s trỏ tồng tất cà các phần tử thuộc lóp Xj của nhóm và các hệ số hiik là nguyên. Như thế cằn phải chứng minh hai liềm a Nếu g Xi Xj và g xk thi tãt cả các phàn tử h-1gh h ộ của lớp xk cũng phải thuộc tích Xi Xj. b Nếu g Xk nẵm trong tích XfXj p lần thi mọi phần tử khác của xk có dạng h gh h ộ cũng phải nằm trong tích XịXj plan từ đó các hộ số hjjk là nguyên. Các điẽm này rất dễ thấy vì các phần tử cùng một lớp cỏ quan hệ tương đương vói nhau hai điêm nói Lrèn tinh chất cúa lớp đúng như nhau cho mọi phần tử của cùng một lóp. Chẳng hạn cho g c xk g XịXj tức là g ab a Xp b Xj. Thế thi vói mọi h ta có h_1gh h ab h Tih . Vi h-1ah Xj. và lr bh Xj nén tử đó ta suy dược tính chất a. h-1gh Chẳng hạn cho nhóm X3 trong đó X ỊeỊ X2 Ịd f X3 Ịa b cị. Theo bảng nhóm I 3-3 La có x2 Ịd fj2 2e d f 2Xj x2 lire la hr 2 2 11299 1. X2 - ịa b cỊ2 3e 3 ịd fj 3X1 3X2 tức là 3 h332 3. X2X3 - X3X2 ịd rị ịa b cị 2 ịa b cỊ 2X3 tire là h233 h323 2. Tìít cả các hệ sổ khác đều bằng không. Như thế tĩít cả các hệ số hjjk đề 1 nguyên. Bày giờ La hãy chọn một biêu diễn bất khả quy X 1 nào đó cỏ chiêu bằng của nhỏm ỷ và lấy tồng till cả các ma trận Dip g tương ứng vói các phần tử của 1Ó P xk ký hiệu là Dk X D N D N g 13-2 ỗ TXk Ta cỏ h D h Di h- gh D g g xk xk tức là ma trận D giao hoán vói mọi ma trận của bièu diễn bất khả quy 9j U . Thành thử theo bồ đe Schur thứ hai ta có Df Âkln 13-3 61 hay lấy vết hai vế theo 4-2 ta được gk r Àkn M u . e e n từ đó ta được gkX F 03-4 Nhưng từ 13-1 ta có D P D H h D H i J 1 1 K k k hay theo 13-3 ta được l ijk k-k Từ đó còng thức 13-4 cho gi6ixyzy xy hljkgkx w. 13-5 k Đó chinh là hộ thức bô sung ta cần lìm. Các hệ số gi và hjjk không phụ thuộc vào biễu diễn mà chì phụ thuộc vào cấu trúc của nhóm. Ví ỉụ Ta hãy ứng dụng còng thức 13-5 đề tinh các đặc biền của nhóm 9j3 gi 1 f 2 2 g3 - 3 - Với i j 2 ta được g2X22 Xj h221k gkXk 2X2 n n x2 k tức là x2 n hay x2
