Tham khảo tài liệu 'lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lượng tử part 5', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Toán tử Casimir C2 Bây giờ ta sẽ dùng các toán tử bổzôn đưựồ nghiên cứu ơ 4 đế xây dựng các bièu diễn bất khả quy của đại sổ Lie c4b Nỏi cụ thề hơn giả sử cỏ cốc toán tử bổzôn a b a và b thỏa mãn các hệ thức giao hoán xem công thức 4-17 . a a 1 b b 1 a b a b a b a b 0. 5-1 Ta lập các toán tử số hạt hermitic xàc định dương N. a a Nb b b Ns Nb 0. 5-2 Gác vectơ riêng chung cho càc toán tử hermitic Na Nb giao hoán với nhau theo 4-21 và 4 23 là 1 ni n2 1 0 J 5 3 VUj Vn2 nb n2 II n b n 2 ônin ôn2n _ 5-4 Tiếp theo ta hãy xét các toán tử Ai s a b . 5-5 Áỵ a b b a 2 A2 a b b a 2i A3 a a - b b 2 5-6 tốc dụng trong không gian các vectơ 4-5 ở đây ơj là các ma trận Pauli. Dựa vào càc giao hoán tử 5-1 có thễ chứng tỏ rằng các toán tử Aị cũng thỏa mãn các hệ thức giao hoán của đại sổ Lie c4ỵ. Thành thử ảnh xạ Xi - Aj D Xj là một biễu diễn của đại sổ Lie c4ỵ trong không gian Hilbert vô sổ chiều cốc vectơ 5-3 . Biễu diễn thực hiện bởi các toản tử Aj là một biều diễn vô hạn chiểu trong không gian Hilbert các vectơ 5-3 . Bài toán đặt ra là phân không gian này thành tông trực tiếp của những không gian bất khả quy xem VII 9 . Muốn thế ta hẵy xét toản tử Casimir c2 của đại sổ Lie c4ỵ có dạng sau xem VII 10-2 . A A A . Nếu đặt A Na Nb 2 a a b b 2 5-8 thì từ 5-6 5-7 và 5-8 ta được - -A A 1 . 5-9 Nhưng vì với các bièu diễn bất khả quy toán tử Casimir phải có những giá trị xác định nên theo 5-9 ta thấy rẳng cốc biêu diễn bất khả quy của đại sổ Lie c4ỵ được đặc trưng bởi các giả trị của toán tử A kỷ hiệu là j. Gọi nj và n2 236 nguyên không âm tương ứng là các giá trị của các toàn tử N và Nb ta được theo 5-8 j ni n2 2 5-10 j là số nguyên hay bán nguyên không âm. Lượng j đặc trưng cảc biếu diễn bẩt khả quy của đại số Lie gọi là trọng trưởng của càc bièu diễn bất khả quy đó. Các biêu diễn này kỷ hiệu là 2 0 . Cách đánh s6 cơ sở Bày giờ ta hãy xác định không gian con của ọẻ thực hiện biểu diễn bất khả quy có trọng trưởng bằng j. Vì theo 5-3 cốc vectơ của không gian biêu diễn được xắc định .
