Tham khảo tài liệu 'lý thuyết điều khiển phi tuyến part 5', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | VỚI A là ma trận Tỉ hàng rì cột có phần tủ là nhửng số thực tức là AeRnXk Sử dụng hàm xác định dương V x xTPx với Pe là ma trận xác định dương ma trận đôì xứng có tất cả các giá trị riêng là những sô thực dương Khi đó sẽ có dV _ í dx T _ Tn dx _ 7 D T-r . - Px X p -7 - - Ax Px X P Ax_ dt I dt J I di I xT ATP PA x_ Vậy hệ tuyến tính sẽ ổn định tiệm cận tại 0 nêu A1 P PA -Q là ma trận xác định àm. hay Q là ma trận xác định dương Một trong các công cụ khá tiện ích để kiểm tra tính xác định dương của một ma trận là định lý Sylvester Nó phát biểu nhú sau Cần và đủ đê ma trận đóĩ xứng xác định dương ỉà toàn bộ n ma trận con nẳm dọc theo đường chéo chinh của nó có định thức dương . Như vậy để kiểm tra lính xác định dương cửa ma trận đôi xứng 911 912 91 i 1 912 922 92 . 91 92 9 ta chì can k iem tia 911 912 91 911 0 det 11 9121 0 . det 912 922 923 0 .912 922. .913 922 9 13 Phương trình cùa ẩn số p khi rì và Q là chù trước được gọi là phương trình Lyapunov Định lý 3 2 Phương trình Lyapunov vơi Q là ma trận xác định dươg đối xứng có các giá trị riêng là số thực dương sẽ có nghiệm p duy nhât xác định dương khi và chi khi A là ma trận bển có các giá trị riêng nàm bên trái trục ảo . Chứng minh Trước tiên ta chúng minh điều kiện can tức là khi phương trình Lyapunov 3 15 VỚI Q xác định dương có nghiệm p cũng xác dịnh dương thì A phải là ma trận bển. 129 Sử dụng hàm xác định dương V x_ xác định theo . Khi đó do có với Q xác định dương nên đạo hàm Ị- dọc theo quỳ đạo trạng thái tự do í cửa hệ tuyên ứt tính có mô hình không bị kích thích là xác định ảm. Vậy theo tiêu chuẩn Lyapunov định lý 3 1 hệ tuyến tính là on định tiệm cận. Suy ra A phải là ma trận bển. Chuyên sang điểu kiện đủ ta phải chứng minh khi A là ma trận bển thì phương trình Lyapunov với Q xác định dương sẽ có nghiệm p duy nhất cũng xác định dương. Trước tiên ta đặt -ATJ JA dt thỏa mãn điêu kiện đầu JịO -Q Khi đó từ lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính hệ .
