II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1. Phương trình tách biến (hay biến phân ly) a) Là phương trình vi phân có dạng : f1(x) + f2(y).y’ = 0 hay f1(x)dx + f2(y)dy = 0 (1) b) Cách giải : Lấy tích phân phương trình (1) thì có : | Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http For evaluation only. II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1. Phương trình tách biến hay biến phân ly a Là phương trình vi phân có dạng fi x Í2 y .y 0 hay fi x dx f2 y dy 0 1 b Cách giải Lấy tích phân phương trình 1 thì có fa y y dsc - c hay f2 y dy -c Thí dụ 1 Giải phương trình vi phân y 1 y2 . ex Phương trình được đưa về dạng c Lưu ý Phương trình fi x gi y dx f2 x g2 y . dy 0 2 Nếu gi y fz x 0 thì có thể đưa phương trình trên về dạng phương trình tách biến bằng cách chia 2 vế cho gi y g2 x ta được íiậU 8 4 dy. 0 f3 x gj y 3 Nếu gi y 0 thì y b là nghiệm của 2 . Nếu f2 x 0 thì x a là nghiệm của 2 . Các nghiệm đặc biệt này không chứa trong nghiệm tổng quát của phương trình 3 ii Thí dụ 2 Giải phương trình vi phân y2 - i dx - x2 i y dy 0 Với y2 - i 0 ta có Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http For evaluation only. Ngoài nghiệm tổng quát này ta nhận thấy còn có 2 nghiệm y 1 và y -1 2. Phương trình đẳng cấp cấp 1 a . Là phương trình vi phân có dạng 4 Từ 4 có y xu -- y u xu . Thế vào 4 có u xu f u có thể đưa về dạng phương trình tách biến du _ dx f u -u X 5 Lưu ý Khi giải phương trình 5 ta nhận được nghiệm tổng quát khi f u - u 0. Nếu f u - u 0 tại u a thì có thêm nghiệm y ax. ii Thí dụ 3 Giải phương trình vi phân 4 X X Đặt y xu ta có phương trình cosu dx xu u u tgu -----du sin u X In sin u In x In c hay sin u Cx 1 y .-1 hay sin Cx X Ngoài ra do f u u tg u 0 u kx x nên ta còn có thêm các nghiệm y kx x với k 0 1 2 . Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http For evaluation only. Thí du 4 Giải phương trình vi phân Chia cả tử và mẫu của vế phải cho x2 ta được dz .2 u du 2 0 Đặt y xu ta có x l 3u Lấy tích phân ta có In x jln 1 3u2 c ỳ x3 l 3u2 e3C Cj thế X ta được Với điều kiện đầu x 1 y 1 ta được nghiệm riêng x3 3xy2 4 4 f - v b . Chú ý phương trình ap b1y C1 I V b2y cJ 6 có thể đưa về dạng phương trình đăng cấp như sau b1 Nếu 2 đường thăng a1x
