Tham khảo tài liệu 'hình học cao cấp part 5', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Phép biến đổi tuyến tính này biến một cơ sở trực chuãn thành một cơ sở trực giao . Chứng minh Gọi ejla một cơ sở trực chuẩn củaE. Qua ánh xạ p ta có ọte e với i l 2 . n . Vì vói i j nên e-l V I là một hệ n vectơ trực giao và -ựk e- với k 0 . Vì hệ vectơ trực giao là một hệ vectơ độc lập tuyến tính nên ta có thể dùng hệ e Ị làm một cơ sở củaE. Gọi T là phép biến đổi tuyến tính xác định bởi hai cơ sở ejvà te 1. Ta sẽ chứng minh ọ trùng với T . _ - - n Với vectơ X bất kì thuộc E ta có X 2xiei Í 1 q X p XịSị x e i-l i I Còn T X T Xj Xje i 1 1 1 1 Theo tính chát của 9 ta có p X . e j ọ X .ọ ẻi k. kt Xjgj . tìị 1 i l Mặt khác ta có T X . e i 2 xi eỉ . e - k Xj 2 1 1 . ĩ T - 2 và p X . efs X e . 6j Xịẽị 3 i i Từ 1 và 3 ta rút ra Xi Xi với mọi vectơ X e E. Mặt khác từ 2 và 31 ta kết luận ọ X T X với mọi X e E Vậy ánh xạ p có tính chất p x . p ỵ với mọi X y thuộc E là 117 một phép biến đổi tuyến tính và do đó ta suy ra ánh xạ ọ là một ánh xạ tuyên tính đồng dạng . ĐỒNG DẠNG a ĐỊnh nghĩa. Phép biến đối f E11 E11 gọi là phép đổng dạng nếu với hai điểm bất kì M N của En và ảnh của chúng là M ÍIM N f N ta luôn có d M N k . d M N trong đó k là một số dương cố định được gọi là tỉ số đồng dạng của phép đồng dạng f . Do đó Với k 1 ta được phép đồng dạng f là phép dời hình . Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số jk b Định lí. Phép đồng dạng là một phép afín . Chứng minh Giả sử f E1 En là phép đềng dạng tỉ số k. Lấy một điểm o thuộc En gọi O f O . Ta định nghĩa ánh xạ p E11 - En như sau Nếu X là một vectơ thuộc En gọi M là điểm sao cho OM X. Sau đó lây M ÍIM và đặt cp X oW. Ta cần chứng minh ọ là ánh xạ tuyến tính . Thật vậy với mọi điểm M N thuộc En ta có d2 M N ôn - Õm 2 ON3 OM2 - d2 O N đ2 O M - 1 Nếu M f M N f N thì ta có d2 M N o n - o m 2 o n 2 O1M 2 - 2Ò n .o m d2 O N d2 o MJ - .o m 2 Mặt khác vì f là phép đồng dạng nên ta có 118 d2 M N k2 d2 M N d2 ơ N k2 d2 O N d2 O M k2 d2 O M Do đó từ 1 và 2 ta suy ra .
