tài liệu “Bài tập toán cao cấp” được biên soạn với mục đích nhằm trình bày bài giải và hướng dẫn cách giải bài tập, ôn tập các kiến thức đã học ở trường phổ thông, trình bày các định nghĩa, định lý, thí dụ minh họa được trình bày rõ ràng, giúp các bạn vừa cũng cố kiến thức vừa hỗ trợ việc học tập hiệu quả | f y h O -f v 0 0 f- 0 0 f y 0 0 lim ------ h- 0 h _ h lim 1 h 0 h f m. m - rr r n m - lim f 0 k -f x 0 0 - I Xy U U i 1 u lim k- 0 k lim4 -l . k- 0 k Ta cũng có kết luận như ồ câu trên. 14. a Vì u y u J y - 0 nên u không phụ thuộc y hay u f x trong đó f là một hàm số tùy ý. Do đó u x y F x G y trong đó F x là một hàm sô khả vi tùy ý vì là nguyên hàm của hàm số tùy ý f x G y là một hàm số tùy ý G y đóng vai trò của hằng số tùy ý khi lấy tích phân đối với x . b Từ hệ thức ta suy ra f y trong đó f là một hàm số tuỳ ý. Do đó u x y xf y g y g là một hàm số tùy ý. c Từ hệ thức uxyz uxy 0 í 52 y ta được ujy f x y trong đó f x y là một hàm sô tùy ý. Do đó vì u y ư i y ta được u fj x y g x z trong đó fj x y là một nguyên hàm theo y của f x y g x z là một hàm số tùy ý Từ hệ thức ấy ta suy ra u x y z F x y G x z ỈI y z trong đó F G H là ba hàm số tùy ý G khả vi F khả vi hai lần. d Từ hệ thức u 2 12x2y 2 X ự suy ra u 4x y 2x f y trong đó f là một hàm số khả vi tuỳ ý. Do đó ư x y x4y X2 xf y g y g là một hàm số khả vi tuỳ ý. Lấy đạo hàm hai vế đôì với y ta được u y X4 xf y g y . Mặt khác theo giả thiết X4 - 30xy5 . Do đó f y -30y5 g y 0 . Suy ra f y -5yB ct g y C2 . 53 Vậy u x y x4y X2 - 5xy6 CjX C2 . Nhưng vì u 0 0 1 ta được C2 1 và vì u l 1 -2 ta được ct - 0. Do đó u x y x4y X2 - 5xyỄ 1 . e Từ hệ thức u X2 - 2xy2 3 ta được u y - x2y2 3x f y trong đó f là một hàm sô khả vi tùy ý. Do đó u x -2x2y f y . Nhưng theo giả thiết u y y2 - 2x2y 3 . So sánh hai biểu thớc ấy cùa u r ta được f y y2 3 . Do đó f y y 3y c trong đó c là hằng sô tùy ý. Vậy u x y x3 y3 - x2y2 3 x y c . D Từ hệ thức _ 3x2-y2 x2 y2 3x2 y3 u ------ 2y xzy y X2 .
