tài liệu “Bài tập toán cao cấp” được biên soạn với mục đích nhằm trình bày bài giải và hướng dẫn cách giải bài tập, ôn tập các kiến thức đã học ở trường phổ thông, trình bày các định nghĩa, định lý, thí dụ minh họa được trình bày rõ ràng, giúp các bạn vừa cũng cố kiến thức vừa hỗ trợ việc học tập hiệu quả | 1 _ 1 _ y-2i Ai B -A - - l y i 2 y2 2iy y y2 4 Do đó -2 y y2 4 B -TJ y2 4 Nhân hai vế của vổi 1 x y 2 rồi cho X i - y ta được íy . V . TA 1 1 y 2i C i - y D - - Ị-2- l i-y y 2iy y y2 4 Do đó c 2 y y2 4 D y2 4 Vậy CO I y y y2 4 -2x y 1 x2 2x4-3y l x y 2 dx 1 I I ry ----ị------ - ln l x yarctgx 4- In 14- x y y y 4 Suy ra Nhưng Do đó 5. Đặt yarctg x y Ị . y 4 y I y - 1 0 2rt f 1 0 xarctg- -. 0J y 4 2 1 0 f -cty dx- arctgx 2 0. -i í x 2 y I y Ttarctg . -P 4Ì f x y e . 152 _ .1 _Y2 . . _ Ta CÓ f x y e Vy Ễ R 00 Tích phân ị e-x dx hội tụ vậy tích phân I y J f x y dx 0 0 hội tụ đều đốì với y e R. Xét tích phân j f x y dx J f x y dx J fý x y dx 0 0 1 V. 2y - x ừ Tích phân j f x y dx J --ịe dx 0 0 x hội tụ đều đôì với y e a b vì r V2 và tích phân I e x dx 0 x hội tụ. Còn tích phân r 2y - x2 4 Ịfý x y dx I - ye dx cũng hội tụ đều trên a b vì 1 1 1 x -HO -HO và tích phân J 2be-x dx hội tụ. Tóm lại tích phân J fý x y dx 1 0 hội tụ đều đôì với y e a b . Vậy Vy E a b ta có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân tức là f 2v x .2 . T y - - 2e dx vy 0- 0 x 153 A t y b Thực hiện phép đoi biến -1 trong tích phân trên ta X y được dx dt do đó X2 r y -2je 2 dt -2I y . 0 Vậy - -2 In I Ky I ln C - 2y Ky trong đó c là hằng số tùy ý. Vậy I y Ce 2 . KO Ị Cho y 0 ta được c 1 0 e x dx 1 . Do đó 0 I y e-2 Rõ ràng I y là hàm số chẵn do đó zI y -C với y 0 6. a Với y 0 xét tích phần phụ thuộc tham số CO cn 1 T _ r dx 1 _ X n -- Ky - arctg - .y 1 0 x y Vy Vy 0 2 Lấy đạo hàm hai vế đối với y n lần khi lấy đạo hàm vế trái ta cứ lấy đạo hàm một cách hình thức dưới dâu tích phân. Ta được -7 dx -n Ịyi J x2 y 2 2 2 n Tích phân này đã được trình bày ở sách Toán học cao cấp tập 2 trang 281 và còn được nêu ra trong bài tập 32 của chương này. .
