tài liệu “Bài tập toán cao cấp” được biên soạn với mục đích nhằm trình bày bài giải và hướng dẫn cách giải bài tập, ôn tập các kiến thức đã học ở trường phổ thông, trình bày các định nghĩa, định lý, thí dụ minh họa được trình bày rõ ràng, giúp các bạn vừa cũng cố kiến thức vừa hỗ trợ việc học tập hiệu quả | Đặt u - p ta được x l - x2 p 2 1 - 2x2 p - 0 phân li biến số ta được r 2i __2f X p x l-X2 ự-x2 xj Do đó - K2 X Chọn Kị 1 K2 0 ta được Do đó X 1 x y2 xu hl 2 1-x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y CjX c2 ln 1 x ĩ x d Giả sử chuỗi lũy thừa y a0 a a2x2 . anxu . 452 Có bán kính hội tụ R là nghiệm của phương trình xy - 2xy y 0 . Thế biểu thức của y vào phương trình ta được đồng nhất thức aD 2a2 1 - 2 a3 x 1 - a2 xa . 1 - 2n a n l n 2 au 2 x . 0 . Do đó 1 1 a 3 3-1 0 _ 2n-l u. . a a - an tfneN 0 2 n l n 2 11 Suy ra 3-2 3-0 0 a3 ai 1 3 5 a4 77a2 a 77 a3 4b _ 7 9 3 J Ta4 ỉ 4 a7 a5 _ 4k-5 _ 4k 3 a21ỉ 2k-l 2k a2k 2 1 - 2k 2k l a2k-1 Nhân hai vế các đẳng thức biểu diễn các hệ số a2 a. a211 với nhau ta được . 4k-5 ------- _ 2k Nhân hai vế các đăng thức biểu diễn các hệ số a3 as . a2k J vói nhau ta được 453 _ . 4k-3 ăợư Ị - - 3 . 2k l Do đó nghiệm khai triển được thành chuỗi lũy thừa của phương trình đã cho là y a0 1- . 4n-5 2n 2n n 1 11 0 . 4n-3 x 2n 1 2n l Dùng quy tắc D Alembert có thể dễ dàng thấy rằng các chuỗi lũy thừa V- . 4n-5 2n y x -1- ---------------------- X A 2n n 1 w _ V L5-9--y x Ẫ A 4n-3 x2n l đểu có bán kính hội tụ R co. Chú thích Nếu ta đòi hỏi thêm trình thỏa mãn điều kiện yl_A 0 kiện ấy suy ra aD y 0 0 aj rằng nghiệm của phương yìx 0 l t lì từ các điểu X Q 1 Nghiệm phải tìm là y y2 x . 25. a Lấy đạo hàm hai vế phương trình sau của hệ ta được z y Z-. Thay y bởi vế phải của phương trình đầu ta có z 4y - 2z z . .
