Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 3 part 5', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Mõmen quán tỉnh cùa bản phằng. Theo định nghĩa mồnmn quán tính của một chất điểm co khối lượng m đặt tại điểm P x y đối với trục Ox đối với trục Oy và đổi với gốc tọa độ theo thứ tự là Ix nay2 I mx2 Io m x2 y2 . Bây giờ xét một bản phảng choán một miền D trong mặt phảng Oxy và co khối lượng riêng x y với x y lả một hàm số liên tục trên D. Dựa vào các công thức và định nghĩa của tích phằn kép ta có các công thức sau đây để tính mômen quán tính của bản phảng đối với trục Ox đối với trục Oy và đối với gốc tọa độ I y2f x y dxdy D Iy x2 x y dxdy D Io ff x2 y2 x y dxdy. D ví iniển dụ 1 Tính mômen quán tính đối với gốc tọa độ của tròn D xác định bởi mién tròn X2 y2 - 2Rx 0 hình biết khối lượng riêng x y 1 X2 y2. Ta có I 1 J7 x2 y2 líx2 y2dxdy D Chuyển sang tọa độ cực mién D được xác định bỡĩ í tp í Tỳ 0 Ể r í Rcosựí vậy Hình 114 2 Reosp f f r4dr _1 0 2 i R5 . 2R5 2f 2R5 4 2 16 J cosW -J cos-w 75R 0 2 vi dụ 2 Tính mômen quán tính đối với trục Oy của mién 2 X y D xác định bởi 1 biết rằng x y 1. a2 bz Th có ly JJ x2dxdy. D X2 y2 b 1 7 7- Biên của nùển D là đường elip 1 y ya X a2 b2 a Do đo ly J x2dx J dy J a2 x2 x2dx a b I Z a f AÍa2-x2 x2dx. a 0 Thực hiện phép đổi biến số X asint 0 Ể t ĩk có dx acostdt J a2 X2 a cost acost do đo 7T 4b 2 2 _ z_ J a4sin2tcos2tdt 4ba3 J sin2t - sin4t dt a tì tì 1 I 1 3 lyĨI _ Jta3b 4ba 2 4-2 2 4 115 Trọng tăm eủa bản phằng. Cho một hệ gồm n chắt điểm có khối lượng nip m2 mn đặt tại các điểm pj Xj y P2 x2 y2 Pn xn y . Khi đó trọng tâm G của hệ có các tọa độ cho bởi công thức n n S ximi 2 . XG --- yG . S mi 2 mi i 1 i 1 Bây giờ xét một bản phầng D trong mặt phẳng Oxy. Nếu khối lượng riêng của nó là một hàm số liên tục x y thì các tọa độ của trọng tâm G của nó được tính bởi công thức ỉ f xp x y dxdy f f y x y dxdy XG yG - JJ x y dxdy JlAx y dxdy D D Nếu bản đồng chất thì f không đổi do đó XG ff xdxdy yG I ydxdy D D trong đó s là diện tích của miễn D. VỈ dụ 1 Xác định trọng tâm G của một bản đồng .
