Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 3 part 7', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Vì vậy df ữx Cuối cùng dxdy dydz -r- dxdy dzdx. ờy ta được 1 ff s aR ờy aR1 3x dzdx ỜPÌ . . dxdy. Vi dụ Tính I ỷydx zdy xdz í L là giao tuyến của hai mặt X y z 0 X2 yz z2 a2 chiểu trên L lã ngược chiểu kim đồng hồ nếu nhìn vễ phía z 0 hình X y z olà phương trỉnh của một mặt phảng đi qua gốc o nên L là một đường tròn lớn của mạt cầu. Ấp dụng công thức Stokes với s là mặt phẳng X y z 0 giới hạn bởi L hướng vể phía z 0. Ta có p y P z 0 P y 1 Q - z Q x 0 Q z 1 R X Công thức Stokes cho ta I JJ dydz dzdx dxdy. R y 0 R 1. s Chuyển sang tích phân mặt loại một ta có z -X - y p -l q l. Vậy các cosin chỉ hưống của vectơ pháp tuyến n tương ứng của s là 1 7 -Ẳ nhọn do đo I -V3 ff dS . s vì s là mặt tròn bán kính bầng a. . Vectơ rôta Cho trường vectơ F M có các tọa độ là P M Q M R M . Người ta gọi uectơ rỗta hay vectơ xoáy của F là vectơ có các tọa độ là 170 OR jQ P OR OQ riP Oy Oz i z i x Ox by và kí hiệu là rot F. Vậy OR OQ Oy i z OP OR oQ OP . 7 j - T7- k. Ox V Ox Oy Để dê nhớ người ta thường viết biểu thức của rot F bằng định thức cấp ba tượng trưng sau rotF i j ĩ ứ Ox Oy p Q k 0 0z R OR oQ . 7- op OR 7 I OQ OP . ứy 0z 1 0z Ox J Ọx Oy Bàng cách viết đó có thể dễ dàng chứng minh được rằng nếu f là hàm số ba biên số có các dạo hàm riêng lién tục thì rot gradf 0 Thật vậy ta có rot gradí i 0 Ox Of Ox ị _ÍL by Of by k 0 Oz Of Oz _ 02f 02f . 7 02f 02f V 7- cp-i k TT OyOz OzOy 1 OzOx OxOz J OxOy OyOx Người ta gọi lưu số của F dọc theo đường kỉn L lả tích phân đưòng J Pdx Qdy Rdz J F . dr L I. trong đo r r t là phương trình tham số dạng vectơ của L. Khi đó công thức stokes có thể phát biểu như sau lưu số của F dọc theo một dường kin L bẳng thông lượng của rotF qua một mặt định hướng s có biền là L 171 J F . dr ỊỊ rotF . ndS L s n là vectơ pháp đơn vị của mặt định hướng s. - Vi dụ. Cho F x y z yzi zxj xyk. Tính thông lượng p của rot F qua phần cùa mặt cầu X2 y2 z2 4 hướng vào trong nằm ở trong mặt trụ X2 y2 1 ứng với z 0 hình Theo công thức Stokes ta có t J
