Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 3 part 9', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | hay dv _ 2dx v x l - X2 Lẫy tich phân hai vế ta được 1 X2 1 V Kj Kị a - 1 xz xz K là hàng số tùy ý. Chọn K -1 ta được V 1---------do 1 1 X2 đó u X - K . Chọn K2 0 ta được u X ụ vậy y2 X2 1. Hai nghiêm yj X y2 X2 1 là độc lạp tuyến tính nên nghiệm tổng quát của phương trình là y CjX C2 x2 1 Cp C2 là haỉ hằng số tùy ý. Chu thỉ ch. Cũng có thể tìm y2 từ công thức . Chia hai vế của công thức ấy cho y2 ta được yiy 2 - yzy i 1 _ _ -- Ce J POOdx y y d y2v Nhưng vế trái là vậy f 4 Ce -TpW x K . yj J y Chọn C 1 K 0 ta được . Như vậy nếu phương trình có một nghiêm riêng là yt x thỉ nghiệm tổng quát của nó là 226 Ì S Vậy J -4 e J p x dx dx J y y C1Y1 C2y f . e-JpW ax . yf Trở lại ví dụ trên. Phương trình 1 - x2 y 2xy - 2y 0 có một nghiệm riêng là y1 X. Chia hai vế của phương trình ọ -2x cho 1 - xz ta thấy p x - T do đó 1 X2 -Jp x dx f 2x dx ln x2 - 1 . X - 1 1 fX2-l 1 eirxx 1 dx _ I --- dx X . X2 X2 X Theo công thức ta được y CjX C2X x CịX C2 x2 1 . Phương trình vi phân tuyến tính không thuàn nhất y p x y q x y f x . Định u . Nghiệm tổng quát cùa phương trình không thuăn nhát bàng tổng của nghiêm tổng quát của phương trình thuẫn nhát tươrig ứng với một nghiêm rìểng nào đó của phương trình không thuằn nhắt . Thậy vậy gọi ỹ là nghiệm tổng quát của phương trình Y là một nghiệm riêng nào đó cũa phương trình . Đặt y ỹ Y. Th có y ỹ Y y ỹ Y Thế vào phương trình ta được y p x y q x y ỹ Y p x ỹ Y q x ỹ Y lỹ p x ỹ q x ỹ Y p x Y q x Y . Nhưng theo giả thiết ỹ p x ỹ q x ỹ 0 Y p x Y q x Y f x do đó y p x y 4- q x y f x . 227 Vậy y ỹ Y cũng là nghiệm của phương trinh . vì ỹ phụ thuộc hai hàng số tùy ý nên y ỹ Y cũng phụ thuộc hai hằng só tùy ý do đó có thể chứng minh nó là nghiêm tổng quát của phương trinh như trong chứng minh định lí Định li . Nguyên lí chống nghiệm . Cho phương trình y p x y q x y fj x f2 x . Nếu yựx là một nghiệm riểng của phương trình y p x y q x y fjix y2 x là một nghiệm riêng của .
