Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình tham số: d1: x=1-t ; y=t ; z=-t d2: x=2t' ; y=1-t' ; z=t' | Khối chuyên Toán - Tin trường ĐHKHTN-ĐHQGHN Đề thi thử đại học lần 2 năm 2008-2009 Ngày thi: 15/3/2009 • Thời gian: 180 phút. • Typeset by LATEX 2ε. • Copyright °c 2009 by Nguyễn Mạnh Dũng. • Email: nguyendunghus@. • Mathematical blog: 1 1 Đề bài Câu I (2 điểm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số −2x2 + 3x − 3 y = x − 1 2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều hai tiệm cận. Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác √ √ 9 sin3 x − 3 cos x + sin x cos x(cosx − 3 sin x) − 6 sin x = 0 2) Tìm a để với mọi b hệ phương trình sau có nghiệm ½ (a − 1)x5 + y5 = 1 ebx + (a + 1)by4 = a2 Câu III (2 điểm) 1) Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng hữu hạn được giới hạn bởi các đường y2 = x và 3y − x = 2. 2) Tính tổng sau theo n 0 2 4 6 n 2n S = C2n − 3C2n + 9C2n − 27C2n + ··· + (−3) C2n Câu IV (3 điểm) 1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình tham số x = 1 − t x = 2t0 d : y = t ; d : y = 1 − t0 1 2 z = −t z = t0 a) Viết phương trình các mặt phẳng (P ), (Q) song song với nhau và lần lượt đi qua (d1), (d2). b) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1), (d2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. 2) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó. Chứng minh rằng = 4Rr2 √ Câu V (1 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của p p p P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 2 2 Lời giải tóm tắt Câu I. 1) Điểm cực tiểu (0; 3), điểm cực đại (2; −5). Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = −2x + 1. (Bạn đọc tự vẽ đồ thị) 2) Xét điểm M(x ; −2x + 1 − 2 ) là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Điểm M cách đều hai tiệm 0 0 x0−1 cận khi và chỉ khi 2 |x − 0 − 1| |2x0 − 2x0 + 1 − − 1| √ = √ x0−1 1 5 hay r r 4 4 (x − 1)2 = ⇔ x = 1 ± 4 0 5 0 5 q 4 4 Vậy các điểm cần tìm là các điểm thuộc .
