Tham khảo tài liệu 'chuyên đề 3:đa thức và những vấn đề liên quan.', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CHUYÊN ĐỀ 3 Đa thức và những vấn đề liên quan. Bài 1 Cho P 3x2 Q - 2 b x 3x 2 x 2 x 2 x 1 Với những giá trị nào của a b thì P Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng. Giải Điều kiện x 2 1. Ta có P Q Vx 2 1 x2 5 x 3x 2 ax2 2a b x a lb. v Vx 2 1 x 3x 2 a 1 a 1 2a b 0 a 2b 5 b 2 Bài 2 Cho số nguyên n A n5 - n. a-Phân tích A thành nhân tử. b-Tìm n để A 0. c-CMR A chia hết cho 30. Giải a A n5 - n n. n4 -1 n. n-1 . n 1 . n2 1 b A 0 n 0 1 -1. c Theo Định Lý Fecma n5 n mod5 n5 nM AM 1 . Lại có n n 1 M Ah2 2 và n 1 .n. n 1 M IM 3 . Vì 2 3 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ 1 2 3 suy ra Aft đpcm . Bài 3 CMR Nếu x y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2 y2 chia hết cho 3 thì cả x và y đều chia hết cho 3. Giải Nhận xét Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Vì vậy từ giả thiết x2 y2 chia hết cho 3 x y M. Bài 4 Tìm giá trị của p q để đa thức x4 1 chia hết cho đa thức x2 px q. Giải Giả sử x4 1 x2 px q . x2 mx n Khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ m - p m p 0 n pm q 0 o qn 1 qn 1 1 p q q Vq 0 Vậy có thể thấy các giá trị của p q cân tìm là 1 Bài 5 Cho đa thức A x x4 -14x3 71x2 -154x 120 x e Z. a Phân tích A x thành nhân tử. b Chứng minh đa thức A x chia hết 24. Giải a .Ta có A x x4 -14x3 71x2 -154x 120 x- 2 . x3 -12xx 47x- 60 x -2 . x-3 . xx -9x 20 b .Ta có A x x 4 -41 .4x2 1 4x 4 44 ĩ 24244 2W A 420 B x í -Nếu x chia hết cho 4 x-14 chia hết cho 2 B x chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 1 thì x-1 chia hết cho 4 x 1 chia hết cho 2 B x chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 2 thì x-14 chia hết cho 4 x chia hết cho 2 B x chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 3 thì x 1 chia hết cho 4 x-1 chia hết cho 2 B x chia hết cho 8. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có B x chia hết cho 8 1 . Mà tích của ba số nguyên liên tiếp thì chi hết cho 3 nên x-1 .x. x 1 chia hết cho 3 B x chia hết cho 3 2 . Mà 3 8 1 nên từ 1 và 2 suy ra B x chia hết cho 24. Vậy ta có đpcm. Bài 6 Tìm tất cả các số nguyên x để x2 7 chia hết cho x-2. Giải
