Tham khảo tài liệu 'giáo trình các tập hợp số part 8', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | csc tÊp hip sè Ngoài ra trong vành X còn có các tính chất sau 4 Với mọi a thuộc X a0 0a a. Thật vậy với x e X ta có x 0 x nên a x 0 ax Suy ra ax a0 ax vậy a0 0. Tương tự ta có 0a 0. 5 Với mọi a b c thuộc X ta có a b - c ab - ac. Thật vậy vì b - c c b nên a b - c c ab a b - c ac ab a b - c ab - ac. Tương tự ta cũng có b - c a ba - ca. 6 Với mọi a b thuộc X ta có -a b a -b -ab -a -b ab. Thật vậy - a 0 - a -a b 0 - a b 0b - ab -ab. Tương tự a -b -ab -a -b - a -b - -ab ab. Định nghĩa . Cho X là một vành giao hoán phần tử a e X được gọi là ước của 0 nếu a 0 và tồn tại b e X b 0 sao cho ab 0. Định lí . Cho X là một vành giao hoán. Các khẳng định sau đây tương đương với nhau i Va b e X ab 0 a 0 hoặc b 0. ii X không có ước của 0. iii Va b c e X a 0 và ab ac b c. Chứng minh i ii . Giả sử a 0 và b 0 mà ab 0 theo i suy ra a 0 hoặc b 0 mâu thuẫn vậy ab 0. ii i . Giả sử ab 0 nếu cả a 0 và b 0 thì theo ii ab 0 trái với giả thiết. Vậy suy ra a 0 hoặc b 0. i iii . Giả sử a 0 và ab ac ab - ac 0 a b - c 0 vì a 0 nên b - c 0 hay b c. iii i . Giả sử ab 0 và a 0 ab a0 mà a 0 theo iii suy ra b 0. . Miền nguyên Định nghĩa . Một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương trong định lí được gọi là một miền nguyên. Ví dụ 36 csc tÊp hip sè 1 Vành số nguyên Z là một miền nguyên. 2 Vành X trong ví dụ không phải là miền nguyên. . Trường Định nghĩa . Một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và trong đó mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo được gọi là một trường. Nhận xét. Cho X là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 X là một trường khi và chỉ khi tập X các phần tử khác 0 của X lập thành một nhóm Aben với phép nhân. Nhóm này được gọi là nhóm nhân các phần tử khác không của trường X. Ví dụ 1 Vành số hữu tỉ Q vành số thực R là những trường. 2 Tập X 0 1 2 với hai phép toán sau là một trường. 0 1 2 0 0 1 2 1 ĩ 2 0 2 2 0 1 X 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 3 Vành số nguyên Z không phải là một trường. Định lí . Mọi trường đều
