Tham khảo tài liệu 'giáo trình các tập hợp số part 10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | csc tÊp hip sè a b a b - 1 b a -1 b a. Vậy N là một vị nhóm giao hoán. 3. Đặt X là tập các số lẻ. Khi đó X 2k 1 I k e Z Rõ ràng 1 e X. Hơn nữa nếu a 2k 1 b 2 1 e X thì ab 2k 1 2 1 2 2kl k 1 e X. Vậy X là vị nhóm con của vị nhóm nhân các số nguyên. X không là nửa nhóm con của nửa nhóm cộng các số nguyên vì X không ổn định đối với phép cộng. Ta có 3 và 5 là hai số thuộc X nhưng 3 5 8 Ể X 4. Rõ ràng phép toán a b a có tính chất kết hợp vì với mọi a b c thuộc X ta có a b c a c a a b c a b a Vậy a b c a b c. Nếu X có nhiều hơn một phần tử thì phép toán không giao hoán vì giả sử a b là hai phần tử khác nhau thuộc X ta có a b a b a b. Như vậy a b b a. X cũng không có đơn vị vì giả sử e e X là đơn vị của X và a e X a e ta có a e a e a e. Như vậy a e e a. Mâu thuẫn. 5. Cho X a b để X là một nhóm trước hết ta chọn một phần tử làm phần tử trung lập. Vì trong một nhóm có luật giản ước cho nên các kết quả tính trong mỗi dòng và mỗi cột phải khác nhau. Cuối cùng ta có a b a a b b b a Tương tự Y a b c ta có a b c a a b c b b c a c c a b Chú ý Các kết quả tính trong mỗi dòng mỗi cột phải khác nhau chỉ là điều kiện cần để ta có một nhóm. Vì vậy sau khi lập xong bảng toán cần chỉ rõ phần tử đối xứng của mỗi phần tử của tập đang xét là gì. Cần chứng minh tính chất kết hợp của phép toán vừa nêu. 46 csc tÊp hip sè 6. i - iv Các kết quả này được suy ra từ các tính chất của phép cộng thông thường các số. v Đặt mZ mk I k e Z là tập các số nguyên là bội của m. Ta có thể chỉ cần chứng minh mZ là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z. Rõ ràng 0 m0 e Z. Giả sử a mk b ml e mZ. Khi đó a - b mk - ml m k - l e mZ. Vậy mZ là một nhóm con của Z. viii Đặt X a b V3 la b e Z . Khi đó X là tập con của tập các số thực R. Để chứng minh X là một nhóm với phép cộng ta chỉ cần chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực. Rõ ràng với mọi a e Z a a 0 V3 e X. Giả sử a a b 5 3 và P c d-ựi là hai phần tử bất kì thuộc X. Khi đó a b c d là những số nguyên do đó a - c và b - d cũng là những số nguyên. Vậy a
