Tham khảo tài liệu 'olympic_toan_cao_cap_split_2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http Í bn f 1 n n an 1 n i bn f n 1 - Bài 8 Cho g là một hàm khả vi liên tục trên đoạn a b f là một hàm khả vi trên đoạn a b và f a 0. Giả sử có số A 0 sao cho g x f x f x A f x với mọi x G a b . Chứng minh rằng f 0 trên đoạn a b . Giải Giả sử rằng có c e a b sao cho f c 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử f c 0. Vì f liên tục trên đoạn a b nên tồn tại d e a c sao cho f d 0 và f x 0 với mọi x e d c . Với x e d c ta có f z x g x aX A 0 nên hàm số F x g x In f x Ax không tăng trên d c . Do đó với mỗi X e d c g x In f x Ax g c In f c Ac hay là f x e f c . Vì f và gz liên tục tại d nên ta nhận được 0 f d lim f x e d-Xc g c -g d f c 0. x d Mâu thuẫn trên chứng tỏ f 0 trên đoạn a b . Chú ý 1. Lấy g x 1 với mọi x e a b thì ta được một trường hợp riêng của bài toán trên Cho f là một hàm khả vi trên đoạn a b và f a 0. Giả sử có số A 0 sao cho f x A f x với mọi x G a b . Chứng minh rằng f 0 trên đoạn a b . Một cách chứng minh khác như sau Giả sử có c e a b sao cho f c 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử f c 0. Vì f liên tục trên đoạn a b nên tồn tại d e a c sao cho f d 0 và f x 0 với mọi x e d c . Với x e d c ta có In f c In f x - c x A c x ln - c in - x f ộ c x A c x 10 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http với ỡx G c x . Qua giới hạn hai vế khi x d ta nhận được mâu thuẫn. Mâu thuẫn đó chứng tỏ f 0 trên đoạn a b . 2. Một bài toán tương tự với giả thiết nhẹ hơn được phát biểu như sau Cho g là một hàm bị chặn trên đoạn a b f là một hàm khả vi trên đoạn a b và f a 0. Giả sử có số A 0 sao cho g x f x f x A f x l với mọi x G a b . Chứng minh rằng f 0 trên đoạn a b . Bài 9 Cho f là một hàm khả vi trên 0 1 sao cho f 0 f 0 f 1 0. f c Chứng minh rằng tồn tại c G 0 1 sao cho fz c ĩ Hướng dẫn giải Đặt í f x nếu x G 0 1 F x x I 0 nếu x 0. Khi đó F là một hàm liên tục trên 0 1 khả vi trên 0 1 . Nếu có x G 0 1 sao cho f x 0 thì F x 0 và từ định lý Rolle ta có ngay điếu phải chứng minh.
