Giải tích lồi là một bộ môn quan trọng trong giải tích phi tuyến hiện đại. Giải tích lồi nghiên cứu những khía cạnh giải tích của tập lồi và hàm lồi. Dưới vi phân là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi. Đây là mở rộng cho đạo hàm khi hàm không khả vi. Điều này cho thấy vai trò của dưới vi phân trong giải tích hiện đại cũng có tầm quan trọng như vai trò của đạo hàm trong giải tích cổ điển. Dưới vi phân của hàm lồi có rất nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến và đặc.