Để chứng minh p(n) đúng với mọi n N và n n0. Ta có thể dùng nguyên lý quy nạp như sau: Kiểm chứng p(n0) đúng Nếu p(n) đúng (n n0 ) thì p(n+1) đúng Kết luận: p(n) đúng n n0 | Nguyên Lý Quy Nạp Phan Văn Đăng Khoa Trần Anh Quân Lý thuyết Để chứng minh p(n) đúng với mọi n N và n n0. Ta có thể dùng nguyên lý quy nạp như sau: Kiểm chứng p(n0) đúng Nếu p(n) đúng (n n0 ) thì p(n+1) đúng Kết luận: p(n) đúng n n0 Nghĩa là sử dụng suy diễn sau: p(n0) n > n0, p(n) p(n+1) n n0, p(n) Ví dụ 1: Ví dụ : Chứng minh rằng: ! + !+ +!=(n+1)!-1 Giải: Đặt: p(n)=“! + ! + + ! = (n+1)! - 1” Ta có: p(1)=“! = (1+1)! – 1” đúng Giả sử p(n) với n 1 đúng, ta chứng minh p(n+1) cũng đúng. Do p(n) đúng nên: ! + ! + + ! = (n+1)! – 1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)! – 1+(n+1).(n+1)! ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)!(1+n+1) –1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+2)! –1 Vậy p(n+1) cũng đúng. Theo nguyên lý quy nạp, ta có: n 1, p(n) đúng. Ví dụ . | Nguyên Lý Quy Nạp Phan Văn Đăng Khoa Trần Anh Quân Lý thuyết Để chứng minh p(n) đúng với mọi n N và n n0. Ta có thể dùng nguyên lý quy nạp như sau: Kiểm chứng p(n0) đúng Nếu p(n) đúng (n n0 ) thì p(n+1) đúng Kết luận: p(n) đúng n n0 Nghĩa là sử dụng suy diễn sau: p(n0) n > n0, p(n) p(n+1) n n0, p(n) Ví dụ 1: Ví dụ : Chứng minh rằng: ! + !+ +!=(n+1)!-1 Giải: Đặt: p(n)=“! + ! + + ! = (n+1)! - 1” Ta có: p(1)=“! = (1+1)! – 1” đúng Giả sử p(n) với n 1 đúng, ta chứng minh p(n+1) cũng đúng. Do p(n) đúng nên: ! + ! + + ! = (n+1)! – 1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)! – 1+(n+1).(n+1)! ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)!(1+n+1) –1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+2)! –1 Vậy p(n+1) cũng đúng. Theo nguyên lý quy nạp, ta có: n 1, p(n) đúng. Ví dụ 2: | Nguyên Lý Quy Nạp Phan Văn Đăng Khoa Trần Anh Quân Lý thuyết Để chứng minh p(n) đúng với mọi n N và n n0. Ta có thể dùng nguyên lý quy nạp như sau: Kiểm chứng p(n0) đúng Nếu p(n) đúng (n n0 ) thì p(n+1) đúng Kết luận: p(n) đúng n n0 Nghĩa là sử dụng suy diễn sau: p(n0) n > n0, p(n) p(n+1) n n0, p(n) Ví dụ 1: Ví dụ : Chứng minh rằng: ! + !+ +!=(n+1)!-1 Giải: Đặt: p(n)=“! + ! + + ! = (n+1)! - 1” Ta có: p(1)=“! = (1+1)! – 1” đúng Giả sử p(n) với n 1 đúng, ta chứng minh p(n+1) cũng đúng. Do p(n) đúng nên: ! + ! + + ! = (n+1)! – 1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)! – 1+(n+1).(n+1)! ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)!(1+n+1) –1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+2)! –1 Vậy p(n+1) cũng đúng. Theo nguyên lý quy nạp, ta có: n 1, p(n) đúng. Ví dụ 2: | Nguyên Lý Quy Nạp Phan Văn Đăng Khoa Trần Anh Quân Lý thuyết Để chứng minh p(n) đúng với mọi n N và n n0. Ta có thể dùng nguyên lý quy nạp như sau: Kiểm chứng p(n0) đúng Nếu p(n) đúng (n n0 ) thì p(n+1) đúng Kết luận: p(n) đúng n n0 Nghĩa là sử dụng suy diễn sau: p(n0) n > n0, p(n) p(n+1) n n0, p(n) Ví dụ 1: Ví dụ : Chứng minh rằng: ! + !+ +!=(n+1)!-1 Giải: Đặt: p(n)=“! + ! + + ! = (n+1)! - 1” Ta có: p(1)=“! = (1+1)! – 1” đúng Giả sử p(n) với n 1 đúng, ta chứng minh p(n+1) cũng đúng. Do p(n) đúng nên: ! + ! + + ! = (n+1)! – 1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)! – 1+(n+1).(n+1)! ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+1)!(1+n+1) –1 ! + ! + + !+(n+1).(n+1)! = (n+2)! –1 Vậy p(n+1) cũng đúng. Theo nguyên lý quy nạp, ta có: n 1, p(n) đúng. Ví dụ .
