Chuỗi hàm phức_Chương 4

Định nghĩa: Cho dãy các hàm biến phức u1(z), u2(z), u3(z),. xác định trong miền E. Ta gọi biểu thức: ∑ u n (z) = u1 (z) + u 2 (z) + L + u n (z) + L n =1 ∞ (1) là chuỗi hàm biến phức. Tổng của n số hạng đầu tiên là: Sn(z) = u1(z) + u2(z) + ⋅⋅⋅+ un(z) được gọi tổng riêng thứ n của chuỗi hàm (1). Nó là một hàm phức xác định trong miền E. Nếu tại z = zo, chuỗi ∑ u n(z o ) n =1 ∞ n =1 hội tụ thì zo được gọi là điểm. | CHƯƠNG 4 CHUỖI HÀM PHỨC 1. KHÁI NIỆM CHUNG 1. Định nghĩa Cho dãy các hàm biến phức Ui z u2 z u3 z . xác định trong miền E. Ta gọi biểu thức í un z U1 z U2 z Un z 1 n 1 là chuỗi hàm biến phức. Tổng của n số hạng đầu tiên là Sn z ui z u2 z un z được gọi tổng riêng thứ n của chuỗi hàm 1 . Nó là một hàm phức xác định trong miền E. Nếu tại z zo chuỗi í un zo hội tụ thì zo được gọi là điểm hội tụ của chuỗi n 1 hàm 1 . Nếu tại z zo chuỗi í un zo không hội tụ thì zo được gọi là điểm phân kì n 1 của chuỗi hàm 1 . Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của nó. Nếu gọi f z là tổng của chuỗi 1 tại điểm hội tụ z thì f z hiển nhiên là một hàm biến phức xác định trong miền hội tụ G. 2. Khái niệm về hội tụ đều Theo định nghĩa 1 ta có Vz e G limSn z f z 2 n TO Nếu đặt Rn z f z - Sn z thì đẳng thức 2 được viết là limRn z 0 n TO Điều đó có nghĩa là V8 0 cho trước tồn tại một số N e z dương phụ thuộc vào 8 và z sao cho khi n N thì Rn z 8. a. Định nghĩa Chuỗi hàm 1 được gọi là hội tụ đều trên tập Go c G nếu V8 0 cho trước tồn tại một số N chỉ phụ thuộc 8 N N 8 sao cho khi n N 8 thì Rn z 8 Vz e Go. b. Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu un z an Vz e G và nếu chuỗi í an hội tụ n 1 thì chuỗi hàm 1 hội tụ đều trong miền G. Nói vắn tắt hơn chuỗi 1 sẽ hội tụ đều trong G nếu chuỗi các môđun của nó thừa nhận một chuỗi số dương trội hội tụ. Chứng minh Cho trước 8 0 ta sẽ chứng minh rằng tồn tại N 8 sao cho khi n N 8 TO thì Rn z 8 Vz e G. Thật vậy vì chuỗi í an hội tụ nên V8 luôn luôn tồn tại N 8 n 1 sao cho khi n N 8 thì rn an 1 an 2 8 Nhưng vì un 1 z an 1 un 2 z an 2 un 3 z an 3. nên Rn z un 1 z un 2 z un 1 z un 2 z an 1 an 2 8 69 Vz e G. Đó là điều cần chứng minh. c. Tính chất của chuỗi hội tụ đều Định lí 1 Nếu tất cả các số hạng un z của chuỗi hàm 10 đều liên tục trong miền G và nếu chuỗi hàm 1 hội tụ đều trong G thì tổng f z của nó cũng liên tục trong G. Chứng minh Giả sử z và z h là hai điểm bất kì trong G. Ta có f z S z R z f z h Sn z h Rn z h Cho trước s t phải chứng minh .

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TÀI LIỆU LIÊN QUAN
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.