Các bài toán tham khảo dành cho sinh viên chuyên ngành điện | F p -tf t 26 Chứng minh Theo 6 ta có F p J- tf t e - ptdt Mặt khác theo định nghĩa thì - tf t í tf t e-ptdt Vậy F p - -tf t Sử dụng công thức này liên tiếp ta có tnf t ẵ -1 nF n p 27 Một cách tổng quát ta có n tn Jr 28 p 10. TÍCH PHÂN ẢNH Nếu tích phân í F p dp hội tụ thì nó là ảnh của hàm - nghĩa là p t í F p dp 29 t p Chứng minh Ta có í F p dp í dp í f t e - ptdt 30 p p 0 Lấy s1 là một số lớn hơn so. Giả sử đường lấy tích phân p tt nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng Rep 0. Khi đó ta có íf t e-ptdt Mí e- s1 -so tdt co Dễ dàng thấy răng tích phân vế phải hội tụ nên tích phân í f t e-ptdt hội tụ đều đối 0 với p. Vậy trong 3 ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân f t . íF p dp íf t dt íe ptdp í e ptdt p 0 p 0 L Hay í o íF p dp tp ebt - eat Ví dụ 1 Tìm ảnh của hàm --- t Vì ebt - eat o- b----- nên theo 29 ta có 109 J 1 at e e f . J t p 1 ï 1 p-a p-b dp ln lp b p aJ Ví dụ 2 Tìm ảnh của hàm Í - Hl t 0 L Ta đã biết sint e 1 nên theo 29 ta có p 1 sint o- J dp n arctgp arcotgp t p2 1 2 Dùng công thức tích phân gốc ta có t sint 1 Ị o- arcotgp 0o t p 11. ẢNH CỦA TÍCH CHẬP 1. Định nghĩa tích chập của hai hàm số Cho hai hàm số f t và g t . Tích phân t J f T g t T dT là một hàm số của t và được gọi là tích chập của hai hàm số f t và 0 g t . Nó được kí hiệu là f g t f g J f T g t T dT 31 2. Tính chất 0 a. Tính chất 1 Tích chập có tính chất giao hoán f g g f Thật vậy dùng phép đổi biến T1 t - T dT1 -dT ta có f g J f T g t T dT J f t T 1 g t dT 1 J g T1 f t T1 dT1 g f 0 t 0 b. Tính chất 2 Nếu f t và g t là những hàm gốc thì f g cũng là hàm gốc t Ví dụ 1 Tính tích chập el t J eT t T dT 0 Tính tích phân bên vế phải bằng phương pháp tích phân từng phân ta có ố t JeT t T dT t el 1 te1 e 1 e t 1 . t t pat 1 t eat fTea t T dT eat J Te aTdT - eT 4 0 0 a a a Ví dụ 2 t sin t t J t t sin TdT sin t 1 0 t cos t t J t t cos TdT cos t 1 0 110 3. Ảnh của tích chập Nếu f t O F p và g t O G p thì ảnh của tích chập bằng tích các ảnh f g O F p .G p Chứng minh Theo định nghĩa thì f g J f T g t - T dT O J .
