CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3

Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất. | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 3: C¸c to¸n tö to¹ ®é, xung l­îng vµ n¨ng l­îng Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta b¾t ®Çu tõ viÖc x©y dùng c¸c to¸n tö cho c¸c ®¹i l­îng c¬ b¶n nhÊt, ®Æc tr­ng cho mét h¹t: ®ã lµ c¸c to¸n tö to¹ ®é, xung l­îng vµ n¨ng l­îng. Cã nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ®Ó x¸c ®Þnh to¸n tö xung l­îng, vµ kÕt qu¶ thùc chÊt lµ dÉn ®Õn mét to¸n tö duy nhÊt. Xin ®iÓm qua tinh thÇn cña mét vµi c¸ch. 1. To¸n tö xung l­îng C¸ch thø nhÊt: Cã thÓ x¸c ®Þnh to¸n tö xung l­îng xuÊt ph¸t tõ c¸c hÖ thøc t­¬ng tù nh­ c¸c hÖ thøc cho c¸c “mãc Poisson” trong C¬ häc gi¶i tÝch cæ ®iÓn. C¸ch thø hai: Cã thÓ xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu: tÝnh b¶o toµn cña xung l­îng ®èi víi hÖ kÝn Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¸ch thø ba: xuÊt ph¸t tõ ý t­ëng liªn quan ®Õn c«ng thøc (). Cô thÓ, ta sÏ coi to¸n tö xung l­îng lµ to¸n tö vector gåm 3 thµnh phÇn , , sao cho nhËn mäi vector lµm trÞ riªng, vµ c¸c hµm riªng t­¬ng øng lµ: trong ®ã C kh«ng phô thuéc x, y, z. DÔ thÊy to¸n tö vector tho¶ m·n yªu cÇu trªn, chÝnh lµ to¸n tö trong ®ã lµ to¸n tö vector víi 3 thµnh phÇn ThËt vËy, ta cã: vµ t­¬ng tù víi 2 thµnh phÇn cßn l¹i. Tõ ®ã suy ra: , to¸n tö vector tho¶ m·n yªu cÇu trªn, chÝnh lµ to¸n tö () lµ to¸n tö xung l­îng cÇn t×m Chó ý: NÕu cßn phô thuéc c¶ vµo thêi gian t th× sù phô thuéc ®ã sÏ ®­îc thÓ hiÖn qua hÖ sè C (C kh«ng phô thuéc x, y, z). Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hµm Dirac Muèn x¸c ®Þnh c¸c to¸n tö to¹ ®é, ta cÇn ®Õn kh¸i niÖm vÒ mét hµm sè ®Æc biÖt gäi lµ hµm Dirac (do Paul Dirac nªu ra). Víi mçi sè d­¬ng p, xÐt hµm sè trªn trôc sè sao cho: (i) = 0 khi hoÆc (ii) tang trªn khoang (-p; 0) vµ giam trªn (0; p); . (iii) Ngoµi ra yªu cÇu hay tån t¹i víi mäi x. §å thÞ cña hµm sè nµy cã d¹ng nh­ h×nh 1 Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam DiÖn tÝch h×nh ®­îc g¹ch chÐo b»ng 1. Khi cho , | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 3: C¸c to¸n tö to¹ ®é, xung l­îng vµ n¨ng l­îng Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta b¾t ®Çu tõ viÖc x©y dùng c¸c to¸n tö cho c¸c ®¹i l­îng c¬ b¶n nhÊt, ®Æc tr­ng cho mét h¹t: ®ã lµ c¸c to¸n tö to¹ ®é, xung l­îng vµ n¨ng l­îng. Cã nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ®Ó x¸c ®Þnh to¸n tö xung l­îng, vµ kÕt qu¶ thùc chÊt lµ dÉn ®Õn mét to¸n tö duy nhÊt. Xin ®iÓm qua tinh thÇn cña mét vµi c¸ch. 1. To¸n tö xung l­îng C¸ch thø nhÊt: Cã thÓ x¸c ®Þnh to¸n tö xung l­îng xuÊt ph¸t tõ c¸c hÖ thøc t­¬ng tù nh­ c¸c hÖ thøc cho c¸c “mãc Poisson” trong C¬ häc gi¶i tÝch cæ ®iÓn. C¸ch thø hai: Cã thÓ xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu: tÝnh b¶o toµn cña xung l­îng ®èi víi hÖ kÝn Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¸ch thø ba: xuÊt ph¸t tõ ý t­ëng liªn quan ®Õn c«ng thøc (). Cô thÓ, ta sÏ coi to¸n tö xung l­îng lµ to¸n tö vector gåm 3 thµnh phÇn , , sao cho nhËn mäi vector lµm .