Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 4

Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau. Để cho đơn giản, ta tạm thời chỉ xét các hàm nhận GIÁ TRỊ LÀ CÁC SỐ PHỨC. Những trường hợp phức tạp hơn sẽ được xét sau. | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö NguyÔn V¨n Khiªm Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 4: Khai triÓn hµm tr¹ng th¸i. Hµm tr¹ng th¸i vµ c¸c ®¹i l­îng vËt lý trong c¸c kh«ng gian kh¸c nhau Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ë ®©y ta gi¶i quyÕt mét vÊn ®Ò gièng nh­ trong §¹i sè tuyÕn tÝnh: khai triÓn mét hµm (hay mét vector) theo c¸c hµm riªng (c¸c vector riªng) cña mét to¸n tö. §Ó cho ®¬n gi¶n, ta t¹m thêi chØ xÐt c¸c hµm nhËn gi¸ trÞ lµ c¸c sè phøc. Nh÷ng tr­êng hîp phøc t¹p h¬n sÏ ®­îc xÐt sau. Còng nh­ trong §¹i sè tuyÕn tÝnh, vÊn ®Ò nµy cã liªn quan víi tÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam TÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau Gia sö vµ lµ hai hµm riªng øng víi hai trÞ riªng vµ kh¸c nhau cña to¸n tö hermitic , tøc lµ: Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ®ã, vµ trùc giao víi nhau theo nghÜa sau: ThËt vËy, nh©n () víi råi lÊy tÝch ph©n (theo toµn bé kh«ng gian) TiÕp theo, nh©n () víi råi lÊy tÝch ph©n ta cã: Do tÝnh hermitic nªn c¸c vÕ tr¸i cña () vµ () b»ng nhau. V× vËy, lÊy () trõ () ta ®­îc. tõ ®ã suy ra (). Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Khai triÓn hµm tr¹ng th¸i theo hÖ hµm riªng cña mét to¸n tö B©y giê gia sö cã c¸c trÞ riªng lµ , , ., . . Khi ®ã, mçi hµm tuú ý cã thÓ viÕt d­íi d¹ng: ta cã mét hµm riªng (lµ mét phæ rêi r¹c) vµ øng víi mçi trÞ riªng trong ®ã trùc giao víi mäi . XÐt tr­êng hîp hÖ , , ., , lµ ®Çy ®ñ, nghi· lµ víi mäi thi hµm trong () ®Òu b»ng 0. . Lóc ®ã ta cã: Khi ®ã, vÊn ®Ò ®Æt ra lµ ph¶i t×m c¸c hÖ sè cn (phøc) Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nh©n hai vÕ cña () víi vµ lÊy tÝch ph©n, ta ®­îc: Do tÝnh trùc giao nªn vÕ tr¸i cña . | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö NguyÔn V¨n Khiªm Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 4: Khai triÓn hµm tr¹ng th¸i. Hµm tr¹ng th¸i vµ c¸c ®¹i l­îng vËt lý trong c¸c kh«ng gian kh¸c nhau Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ë ®©y ta gi¶i quyÕt mét vÊn ®Ò gièng nh­ trong §¹i sè tuyÕn tÝnh: khai triÓn mét hµm (hay mét vector) theo c¸c hµm riªng (c¸c vector riªng) cña mét to¸n tö. §Ó cho ®¬n gi¶n, ta t¹m thêi chØ xÐt c¸c hµm nhËn gi¸ trÞ lµ c¸c sè phøc. Nh÷ng tr­êng hîp phøc t¹p h¬n sÏ ®­îc xÐt sau. Còng nh­ trong §¹i sè tuyÕn tÝnh, vÊn ®Ò nµy cã liªn quan víi tÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam TÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau Gia sö vµ lµ hai hµm riªng øng víi hai trÞ riªng vµ kh¸c nhau cña to¸n tö hermitic , tøc lµ: Hong Duc .