CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ §1. TÍNH ĐẠO HÀM BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ROMBERG Đạo hàm theo phương pháp Romberg là một phương pháp ngoại suy để xác định đạo hàm với một độ chính xác cao. Ta xét khai triển Taylor của hàm f(x) tại (x + h) và (x ‐ h): h2 h3 h4 f( x + h) = f( x) + hf ′( x) + f ′′( x) + f ′′′( x) + f ( 4 ) ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ (1) 2 3! 4! h2 h3 h4 ′( x) + f ′′( x) − f ′′′( x) + f ( 4 ) ( x) − ⋅ ⋅ ⋅ f( x − h) = f( x) − hf (2) 2 3! 4!. | CHƯƠNG 6 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ 1. TÍNH ĐẠO HÀM BẬC NHẤT bằng phương pháp ROMBERG Đạo hàm theo phương pháp Romberg là một phương pháp ngoại suy để xác định đạo hàm với một độ chính xác cao. Ta xét khai triển Taylor của hàm f x tại x h và x - h f x h f x hf x h f x f- x h4f 4 x 1 2 3 4 f x - h f x - hf x h2f x - Rf- x h4f 4 x - 2 2 3 4 Trừ 1 cho 2 ta có 2h3 2h5 . f x h - f x - h 2hf x 2y f x f 5 x 3 5 Như vậy rút ra f x f x h - f x - h - hỊf - f - 3 5 2h hay ta có thể viết lại f x -1 f x h - f x - h a2h2 a4h4 a6h6 2hL J 2 4 6 trong đó các hệ sô ai phụ thuộc f và x. Ta đặt 9 h f x h - f x - h 2h Như vậy từ 5 và 6 ta có D 1 1 9 h f x - a2h2 h A D 2 1 9 h f x - a - - a V 2 7 2 và tổng quát với hi h 2i-1 ta có D i 1 9 hi f x - a2h2 - a4h4 - a6h6-- h2 h4 h6 a6 6 64 . -1 1 - 4 416 - a4h4 - a6h6--- Ta tạo ra sai phân D 1 1 - 4D 2 1 và có hA 3 .15 9 h - 49 h -3f x - 3a4h4 - 5 a. h - V 2 7 4 16 Chia hai vế của 10 cho -3 ta nhận được 4D 2 1 - D 1 1 . .1 4. 5 .6 . D 2 2 k M74 k 7 f x 4a4h4 a. h6 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Trong khi D 1 1 và D 2 1 sai khác f x phụ thuộc vào h2 thì D 2 2 sai khác f x phụ thuộc vào h4 . Bây giờ ta lại chia đôi bước h và nhận được 311 1 fhA4 5 fhV D 3 2 f x 1a4 h Aa 4 V 2 J 16 V 2 J và khử sô hạng có h4 bằng cách tạo ra 15 D 2 3 - 16D 3 2 -15f x 7 a6h6 64 Chia hai vê của 13 cho -15 ta có D 16D 3 2 - D 2 2 f 1 6 - . Ư O 15 1 x 64 cl6 12 13 14 Với lần tính này sai sô của đạo hàm chỉ còn phụ thuộc vào h6. Lại tiếp tục chia đôi bước h và tính D 4 4 thì sai sô phụ thuộc h8. Sơ đồ tính đạo hàm theo phương pháp Romberg là D 1 1 - D 2 1 D 2 2 D 3 1 D 3 2 D 3 3 D 4 1 D 4 2 D 4 3 D 4 4 trong đó mỗi giá trị sau là giá trị ngoại suy của giá trị trước đó ở hàng trên . Với 2 j i n ta có 4j-1D i j -1 - D i - 1 j -1 D i J 4H -1 và giá trị khởi đầu là D i j p h -L f x hi - f x - hi 2hi với hi h 2i-1 . Chúng ta ngừng lại khi hiệu giữa hai lầ n ngoại suy đạt độ chính xác yêu cầu. Ta xây dựng hàm diffromberg để thực hiên thuật toán trên function df diffromberg f x h .
