TÀI LIỆU THAM KHẢO VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG | CHƯƠNG 9 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG 1. KHÁI NIỆM CHUNG Phương trình vi phân đạo hàm riêng PDE là một lớp các phương trình vi phân có sô biến độc lập lớn hơn 1. Trong chương này ta sẽ khảo sát các phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 với hai biến độc lập x và y có dạng tổng quát d2u d2u ỡ2u _ du ổu ì A x yH-T B x y ir C x yO f x y u 7 T7 1 dx ỡxỡy ỡy dx dy J với xo x xf yo y yf và các điều kiện biên u x yo byo x u x yf byf x u xo y bxo y u xf y bxf y 2 Các PDE được phân thành 3 loại PDE elliptic B2 - 4AC 0 PDE parabolic B2 - 4AC 0 PDE hyperbolic B2 - 4AC 0 Các phương trình này gắn một cách tương ứng với trạng thái cân bằng trạng thái truyền nhiệt hệ thông dao động 2. PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Ta xét phương trình Helmholz 2 X d2u x y ổ2u x y x V u x y g x y 2 7 g x y u x y f x y 1 ỡx ỡy trên miền D x y xo x xf yo y yf với điều kiện biên dạng u x yo byo x u x yf byf x 2 u xo y bxo y u xf y bxf y Phương trình 1 được gọi là phương trình Poisson nếu g x y 0 và gọi là phương trình Laplace nếu g x y 0 và f x y 0. Để dùng phương pháp sai phân ta chia miền thành Mx đoạn mỗi đoạn dài Ax xf - xo Mx dọc theo trục x và thành My đoạn mỗi đoạn dài Ay yf - yo My dọc theo trục y và thay đạo hàm bậc 2 bằng xấp xỉ 3 điểm d2u x y ui j i - 2ui j ui j-i dx Ax2 xj yi với xj xo jAx yj yo jAy 403 d2u x y s ui 1 j - 2ui j u-1 j dy2 Ax2 J vyi với Ui j u xj yi Như vậy tại mỗi điểm bên trong xj Xi với 1 i My - 1 và 1 j Mx - ậit nhận được phương trình sai phân ui j 1 - 2u U1 .1 uM j- 2u Ax2 Ay2 gi jU j I j Trong đó u xj. yi fi j f xj. yi gi j g xj. yi Các phương trình này sắp xếp lại theo cách nào đó thành hệ phương trình với My - 1 Mx - 1 biến ui i ui 2. ui Mx-1 u2 1 - u2 Mx-1. - uMy-1 2 - uMy-1 Mx-1 . Để dễ dàng ta viết lại phương trình và điều kiện biên dưới dạng ui j ry ui j 1 ui j-1 rx ui 1 j ui-1 j rxy gi jui j - fi j 5a ui o bxo yi ui Mx bxf yi uo j byo xj uMy j byf xj 5b Trong đó r - Ay2 _ Ax2 _ Ax2Ay2 ry 2 Ax2 Ay2 rx 2 Ax2 Ay2 rxy 2 Ax2 Ay2 Bây giờ ta khảo sát
