Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Miền D giới hạn bởi đừơng cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 được gọi là hình thang cong Yêu cầu đặt ra là tính diện tích hình thang Chia đoạn [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểm Tích phân xác định xk xk+1 | Các phương pháp tính TPXĐ Liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm Các tính chất của TPXĐ . TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa . . . . Cho hình thang cong aABb, Hãy tính diện tích hình thang cong aABb ? giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x), trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. A B . Định nghĩa 1. Bài toán diện tích hình thang cong f(x) Như vậy: khi xi càng nhỏ và n càng lớn thì diện tích hình bậc thang sẽ xấp xỉ diện tích hình thang cong. Do đó, diện tích hình thang cong được tính như sau: 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên [a, b]. (n ∞ sao cho max xi 0) tồn tại hữu hạn không phụ thuộc vào và cách chọn i cách chia đoạn [a,b] thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [ a, b ]. Khi đó ta gọi f(x) là hàm khả tích trên [ a, b ]. 2. Định nghĩa tích phân xác định Kí hiệu : [a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, a: cận dưới, b: cận trên. : dấu tích phân xác định f(x) : hàm dưới dấu tích phân x : biến số tích phân Chú ý. Cho f(x) là hàm xác định tại a. Cho f(x) xác định trên đoạn [ a, b ] Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm dưới dấu tích phân xác định, phụ thuộc vào các cận, không phụ thuộc vào biến số tích phân. Tức là : 1. 2. 3. 2. Ý nghĩa hình học Nếu f(x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] thì là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và trục Ox. Định lí Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn đó. Nếu f(x) có một điểm gián đoạn loại một (x = c) trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn ấy và ta có : Mệnh đề trên vẫn đúng nếu f(x) có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một trên đoạn [a, b]. 3. Định lí tồn tại tích phân xác định Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a, b], khi đó: 1. , với K: hằng số 2. 3. với c [a, b] 4. 5. Nếu f(x) ≤ g(x), x [a, b] thì 6. Nếu m ≤ f(x) ≤ M, x [a, b] thì m(b –a) ≤ ≤ M (b – a) . Tính chất của TPXĐ Ví dụ: Ước lượng giá trị tích phân: 7. Định lí giá trị trung bình Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì tồn tại ít nhất c [a,b] sao cho: hay Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ta luôn tìm được ít nhất một điểm c [a, b] sao cho SaMNb= SaABb f(c) gọi là giá trị trung bình của f(x) trên đoạn [a, b]. . Liên hệ giữa TPXĐ và nguyên hàm. 1. Đạo hàm của tích phân theo cận trên Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b]. Tích phân víi a x b lµ mét nguyªn hµm cña hµm f(x) trªn [a, b]. I(x) = Tức là: I’(x) = 2. Công thức Newton – Leibiz. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) liên tục trên [a, b] thì: hay: . Các phương pháp tính TPXĐ 1. Phương pháp đổi biến số - Đặt x = (t) - Đặt t = (x) Ví dụ: Tính Đặt x = 2sint Đặt t = sinx 2. Phương pháp tích phân từng phần Ví dụ: Tính Đặt u = lnx dv = 1/x3dx Đặt u = x dv = cosxdx
