Dựa vào tính chất xác định duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn r | Chương 1 Hàm biến số phức Ví dụ Tính tích phân I 7 dx 0 x2 1 2 . Giải Hàm R z ị 1 2 -------có cực điểm kép z i nằm trong nửa mặt phẳng Im z 0. Vậy 1 7 dx 1 I I --------TT 2ni 2 _J x2 1 2 2 - A ni lim z i 2 n ni . - 2i 3 4 Res- I i z2 1 2 1_ i dz _ z i 2 _ 7 7 . Tích phân dạng I R x cos 3xdx I R x sin 3xdx -7 -7 7 Hai tích phân trên là phần thực và phần ảo của tích phân I R x ei3xdx . -7 Bổ đề Giả sử hàm f z giải tích trong nửa mặt phẳng Im z 0 trừ tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập và thoả mãn f z Y Vz e Cr k 0 M là hằng số R thì lim Iel z f z dz 0 với mọi Ằ 0. Trong đó Cr R 7 CR z e c I z R Im z 0 . Định lý Giải sử R z QZ là một phân thức hữu tỷ thoả mãn các điều kiện sau i. R z giải tích trong nửa mặt phẳng Im z 0 ngoại trừ tại một số hữu hạn các cực điểm a1 . an . i3x ii. R z có thể có m cực điểm 1 . bm trên trục thực và R x e p khả tích tại những điểm này. iii. Bậc của Q z lớn hơn bậc của P z ít nhất là 1. Khi đó 7 n m I R x ei3 dx 2ni Res R z e 3 ak J ni Res R z ei3z bk J 7 k 1 k 1 Ví dụ Tính tích phân I 7 cos Ảx I 2 12dx 0 x a Ả a 0 . Giải Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên 41 Chương 1 Hàm biến số phức TO -TO cos Ằx 2 2 dx x a eiẢx 2 dx x a 1 -- Re 2ni 2 _ eiẰx Res 2----2 ai x a lì _ -Ảa ne 2a TO sin x . Ví dụ Tính tích phân I í dx . 0 x Giải Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên I -TO sin x dx x 7 TO ix -Im í 2 J x ix -TO ì dx J 1 í 2 Hàm R z thoả mãn các điều kiện của định lý có cực điểm đơn duy nhất z 0 z . - . u i_í__ X e z Jì trên trục thực. Do đó I Im in Res- 0 2 z 1 n Im in . 2 v 7 2 2 2 2n . Tích phân dạng í R cos nx sin nx dx. 0 ix zn z - Đặt z e thì cos nx ------------ 2 sin nx zìì z-n 2i . dz dx iz Khi x biên thiên từ 0 2n thì z eix vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương. Vì vậy Ví dụ Tính tích phân 2n I í 0 dx 5 3sin x 2n í R cos nx sin nx dx j 0 C zn z-n 2 zn - z n 2i dz iz Giải Vì hàm số 7-----107-----ì 7------7 -------- chỉ có một cực điểm đơn z
