Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định | CHƯƠNG 12 TÍNH GAN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. ĐẠO HÀM ROMBERG Đạo hàm theo phuơng pháp Romberg là một phuơng pháp ngoại suy để xác định đạo hàm với một độ chính xác cao . Ta xét khai triển Taylor của hàm f x tại x h và x-h f x h f x hf x h2-f x h3f x f x 1 2 3 4 f x - h f x - hf x y f x - h- f m x h- f 4 x - 2 Trừ 1 cho 2 ta có 2h3 . 2h5 f x h - f x - h 2hf x 3- f x 5- f 5 x 3 Nhu vậy rút ra f f x h - f x - h - p -V _ 2h 3 5 4 hay ta có thể viết lại f x f x h - f x - h a2h2 a4h4 a6h6 2hL J 2 4 6 5 trong đó các hệ số a phụ thuộc f và x . Ta đặt 6 ọ h 2h f x h -f x - h Nhu vậy từ 5 và 6 ta có D 1 1 ọ h f x - a2h2 - a4h4 - a6h6 7 nnnJ h h2 h4 h6 D 2 1 ọ 1 f x - a2 a4 a6 2 J 2 4 4 16 6 64 8 và tổng quát với hị h 2i-1 ta có D i 1 ọ hi f x - 2 - a4h4 - a6h6 - 9 Ta tạo ra sai phân D 1 1 - 4D 2 1 và có h -4 1 -3f x - a4h4 - 5a6h6 - 2 J 4 4 16 6 10 Chia hai vế của 10 cho -3 ta nhận đuợc _4D 2 1 -D 14 Ị 1 4 5 .6 D 2 2 f x a h a h 4 4 4 16 6 11 Trong khi D 1 1 và D 2 1 sai khác f x phụ thuộc vào h2 thì D 2 2 sai khác f x phụ thuộc vào h4 . Bây giờ ta lại chia đôi buớc h và nhận đuợc rơ. 1 1 z 4 5 1 z- 6 12 D 2 2 f x 4a4 h 2 16 a6 h 2 . và khử số hạng có h4 bằng cách tạo ra 1 1 rrơ. 15 1_ 6 13 D 2 2 -16D 3 2 -15f x 64 a6 h . v 7 Chia hai vế của 13 cho -15 ta có D 3 3 6Di 2l5 i221 f x -64 a6h6-. 14 204 Vói lần tính này sai số của đạo hàm chỉ còn phụ thuộc vào h6 . Lại tiếp tục chia đôi bước h và tính D 4 4 thì sai số phụ thuộc h8 . Sơ đổ tính đạo hàm theo phương pháp Romberg là D 1 1 D 2 1 D 2 2 D 3 1 D 3 2 D 3 3 d 4 1 D 4 2 D 4 3 D 4 4 trong đó mỗi giá trị sau là giá trị ngoại suy của giá trị trước đó ở hàng trên . Với 2 j i n ta có 4J-1D i J-1 -D i-1 J-1 D i J 4J-1 -1 và giá trị khởi đầu là D i 1 -ọ hi . X f x hi -f x-hi với hi h 2i-1 . Chúng ta ngừng lại khi hiệu giữa hai lần ngoại suy đạt độ chính xác yêu cầu. Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm f x x2 arctan x tại x 2 với bước tính h . Trị chính xác của đạo hàm là 1 f - f 2 X f - f
