Giải phương trình vi phân Một phương trình vi phân cấp 1 có thể viết dưới dạng giải được y` = f(x,y) mà ta có thể tìm được hàm y từ đạo hàm của nó | CHƯƠNG 13 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vi PHÂN TOÁN CAUCHY Một phương trình vi phân cấp 1 có thể viết dưói dạng giải được y f x y mà ta có thể tìm được hàm y từ đạo hàm của tại vô số nghiệm thoả mãn phương trình nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tuỳ cho trước giá trị ban đầu của y là yo tại giá trị đầu xo ta nhận được một nghiệm riêng của phương toán Cauchy hay bài toán có điều kiện đầu tóm lại như sau cho x sao cho b x a tìm y x thoả mãn điều kiện Jy x f x y 1 y a a Người ta chứng minh rằng bài toán này có một nghiệm duy nhất nếu f thoả mãn điều kiện Lipschitz f x y1 - f x y2 L IY1-y2 vói L là một hằng số dương. Người ta cũng chứng minh rằng nếu f y đạo hàm của f theo y là liên tục và bị chặn thì f thoả mãn điều kiện Lipschitz. Một cách tổng quát hơn người ta định nghĩa hệ phương trình bậc 1 y1 fi x yfy2 - yn Ï2 f2 x Y1 y2 - yn yn fn x yi y2 - yn Ta phải tìm nghiệm y1 y2 . yn sao cho Y x f x Y Y a a í . A y y2 vói r fl Ì f2 r ï y1 y Y F Y y . 7 f n 7 Yn . 7 Nếu phương trình vi phân có bậc cao hơn n nghiệm sẽ phụ thuộc vào n hằng số tuỳ nhận được một nghiệm riêng ta phải cho n điều kiện toán sẽ có giá trị đầu nếu với giá trị xo đã cho ta cho y xo y xo y xo . Một phương trình vi phân bậc n có thể đưa về thành một hệ phương trình vi phân cấp dụ nếu ta có phương trình vi phân cấp 2 y f x y y y a a y a p Khi đặt u y và v y ta nhận được hệ phương trình vi phân cấp 1 u v 1 ựv g x u v tới điều kiện đầu u a a và v a p Các phương pháp giải phương trình vi phân được trình bày trong chương này là 211 các phương pháp rời rạc đoạn a b được chia thành n đoạn nhỏ bằng nhau được gọi là các bước tích phân h b - a n. PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIÊN Giả sử ta có phương trình vi phân y x f x y . y a a 1 và cần tìm nghiệm của chia đoạn xo x thành n phần bởi các điểm chia xo x1 x2 . xn x Theo công thức khai triển Taylor một hàm lân cận x ta có y Xi 1 y Xi Xi 1 - Xi y Xi . x1 i-Xi 2y xi X1 1-Xi 3y Xi --------2 ------- .
