Gồm có: Phương pháp đại số và đạo hàm; Phương pháp hình học và lượng giác; Các phương pháp hiện đại | Chương 1. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ VÀ ĐẠO HÀM . Các phương pháp cơ bản . Định lí-Ví dụ Bất đẳng thức tam giác Định lí . Với các điểm A B c bất kì trong không gian ta có AB AC CB. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm c trên đường thẳng AB. Ví dụ 1. Áo - Ba lan 1983 Cho ư b c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh Chứng minh. Ta có a he 2a 2b 2c - I- -1 - -- ----- ---- ---- -- ------ b c c a a b b b í ư c ư ư b a b 2a 2b 2c ----22 -I---22- 4---22-- a b c a c a b _ 2 7 _ a h c b cc aa b Ví dụ 2. Pháp 1983 a Chứng minh rằng với mọi 3 điểm o Âp A2 trong không gian ta có ỠAỵ ỚA- ỊoAj Ớ V ỠAị ỠAợ I. b Chứng minh rằng với mọi 5 điểm ơ Ap Ao Ẩ3 A4 trong không gian ta có 5 Chửng minh a Ta có õã õă ỡậ Tương tự ơÂ2 ƠA 2 VI 1 ơ 4ị OA j. Suy ra 0Aỵ 0A21 OAX 0A21 OAX - 0A21. Chú ỷ. Kết quả của chứng minh trên cho thấy trong một hình bình hành tổng độ dài 2 cạnh liên tiếp không vượt quá tổng độ dàỉ các đường chéo. b Theo a 4_ __. . _ _. _. OA- OAX OA- OÂ OA2 OAạ OA. 0 4- OA4 . Z J 1 Z I 1 Z I 3 4 I I J 4 1 Mặt khác ÔAX - ÕÃ7 õ73 - ỠẠ - ÕÃ2 ÕA2 - 0 1 ÕẠ -ÔA2-OA2 OA4 OA OA2 OA OA 4 1 ỠAị OA4 ỊỠA7 OA3 4 Suy ra 2 O 4z- OAj OA OÂ OẠị OÂ OA4 OAq O A3 I OA OA4 ị OAạ OA I. Vậy ỵox ỵ OAi OAt 1 l 4 Phương pháp biến đổi thành một bình phương Định lí . Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho 7p ư2 . an và hx h2 . hn là các số thực. Lúc đó i f a2 H--------------------------------------------------------F b2 H-------------------------------------------------------------------------------F axbx a2b2 H------------------------------------------------------------------------------------------------1- anbn . 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a2 . ưn và b . hn cùng phương. Chứng mình. Ta đặt A ư2 ư2 --- 72 z 2 b2 - và B ịb a2b2 anhn 2 . Lúc đó tỉ n 4 V a alh b í l íVj 1 i i n E ụ b2 a2b2 -2aiaJbibị j n s aihi aJhi 2 -1 i j n Đẳng thức xảy ra khi ư 7 a-bị với mọi ỉ j. Ví dụ 3. ESTONIA 1997
