Cơ sở lý thuyết và một số bài toán về dãy số trình bày 3 chương với các kiến thức về dãy số, các bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30 - 4 và các bài toán chọn lọc về dãy số (có giới thiệu các định lý Toeplitz và Stolz). Phần phụ lục giới thiệu với bạn đọc các đề thi toán Quốc tế năm 2005. Chúc bạn học tốt. | cơ SỞ LÝ THUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VÊ DÃYSÓ Ôn thỉ Olympic trong nước và Quốc tế Ôn thi Tú tài và Đại học Giới thiệu fè thi Olympic toán Quốc tế năm 2005 Chưang I CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VỀ DÃY SỐ 1. Dãy số Áhh xạ f N- R N f n gọi là dãy số Ta thường ghi an f n Ký hiệu là an hay ap a2 . an . 2. Dãy số bị chặn . Dãy an gọrlà bị chặn trên nếu tồn tại sô M sao cho an M Vne N Dãy anl gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho an m Vn 6 N Dãy an gọi là bị chặn nếu nó vừa chặn trên vừa chặn dưới. Rõ ràng rằng dãy an bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số dương k sao cho lanI k Vn e N 3. Dãy số đơn điệu Dãy anỊ gọi là tăng tương ứng tăng nghiêm ngặt nếu an an 1 Vn e N tương ứng an an 1 Vn 6 N Dãy an gọi là giảm tương ứng giảm nghiêm ngặt nếu an an i Vn 6 N tương ứng an an 1 Vn e N Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu. 4. Dãy con n n Cho các dãy an và k i nk k eN Vk e N 5 thì dãy bk với bk ank Vk e N gọi là dãy con của an và ký hiệu là a Ta dễ dàng kiểm tra được rằng Chú ý nk k Vk e N Mọi dãy đều là một dãy con của chính nó. Mọi dãy con của một dãy bị chặn tương ứng bị chặn trên bị chặn dưới thì bị chặn tương ứng bị chặn trên bị chặn dưới . Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là dãy đơn điệu. 5. Giới hạn của Dãy số Số a e R gọi là giới hạn của dãy an nếu Ve 0 3nc e N Vn e N n n. la - al E Ct t I u I Kỷ hiệu liman a hay an - a n- 00 Dãy có giới hạn gọi là dãy hội tụ và dãy không có giới hạn gọi là dãy phân kỳ. 6. Các định lý i Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. ỉỉ Dãy nhận được bởi một phép hoán vị các số hạn của một dãy hội tụ vẫn là dây hội tụ và có cùng một giới hạn. Chứng minh i Giả sử liman a và liman a n- oo n- oo a-a Nếu a a . Ta chọn E - - 2 Theo giả thiết _ í an-a SnE e N VnsN n nE I an-a s
